Determinar si $\sqrt{\sqrt{5}+3}+\sqrt{\sqrt{5}-2}$ es racional

Question

Necesito ayuda con este problema: la tarea consiste en determinar si el número $\sqrt{\sqrt{5}+3}+\sqrt{\sqrt{5}-2}$ es racional o no. Por desgracia apenas tiene una idea de cómo empezar y por lo tanto, agradecería que no una solución sino más bien una manera de llegar.

¿PS. soy un nuevo chico, podría usted explicarme cómo escriba el número sí mismo para ello aparecería en el título? No tengo ni idea de escribir fórmulas en MathStack.

¡Gracias!

Answer 1

Primer aviso de $\sqrt{\sqrt{5}+3}$ no es racional. De lo contrario, su plaza sería racional, pero su cuadrado es $\sqrt{5}+3$ donde $\sqrt{5}$ es irracional. Y si $\sqrt{5}+3=a$ es racional, entonces $\sqrt{5}=a-3$ es también racional, contradicción, por lo tanto $\sqrt{5}+3$ es irracional y así es $\sqrt{\sqrt{5}+3}$.

Ahora, supongamos que el número de $x=\sqrt{\sqrt{5}+3}+\sqrt{\sqrt{5}-2}$ es racional.

Entonces

$$\left(x-\sqrt{\sqrt{5}+3}\right)^2=x^2-2x\sqrt{\sqrt{5}+3}+\sqrt{5}+3=\sqrt{5}-2$$

Así

$$x^2+5=2x\sqrt{\sqrt{5}+3}$$

$$\sqrt{\sqrt{5}+3}=\frac{x^2+5}{2x}$$

Pero si $x$ es racional, entonces el lado derecho es racional. Sin embargo, el lado izquierdo no es racional. La contradicción, por lo $x$ es irracional.

Como una nota del lado, la prueba es básicamente similar a este.

Answer 2

Deje $\alpha=\sqrt{\sqrt{5}+3}+\sqrt{\sqrt{5}-2}$.

A continuación, $\alpha$ es una raíz de $x^8-4 x^6-26 x^4-100 x^2+625=0$.

Si $\alpha$ es racional, entonces debe ser un número entero, por el racional de la raíz teorema.

De$2 < \sqrt 5 < 3$$0< \sqrt{5}-2 < 0.25$, obtenemos que $2 < \alpha < 3.5$, por lo que si $\alpha$ fueron un entero, tendría que ser $3$. Pero $3$ no es raíz de la ecuación anterior, porque $3$ no divide $625$.

En realidad, de $2 < \sqrt 5 < 2.25$ obtenemos $2 < \sqrt{5} < \sqrt{\sqrt{5}+3} < \sqrt{5.25} < \sqrt{6} < 2.5$$2 < \alpha < 3$, y por lo tanto $\alpha$ no es un número entero.

Answer 3

Usted no ha dado un número específico, así que supongo que lo que quieres es una forma de comprobar si cualquier número racional. Por desgracia, que rdoes no existen en el nivel actual de conocimiento de matemáticas.

La manera de demostrar que un número es racional es, por supuesto, a demostrar su numerador y el denominador.

Una típica manera de probar que un determinado número de involucrar suponiendo que el número es racional, en cuyo caso puede ser escrito como $p/q$ $p$ $q$ enteros y el máximo común divisor de a $p$ $q$ 1 -- y, a continuación, mostrando a partir de las propiedades de la cantidad que de algún factor que debe dividir ambos $p$$q$. Por ejemplo, eche un vistazo a $x=\sqrt{2}$. Si $x$ es racional, escribe como $$ x = \frac{p}{q}$$ with g.c.d(p,q) = 1. (For example, $14/10$ would be rejected because you can write that as $7/5$.) Entonces a partir de la $x^2=2$, $$ \frac{p^2}{p^2}=2 \rightarrow p^2 = 2t^2 \rightarrow p^2 \mbox{ es aún} \rightarrow p \mbox{ es aún} \rightarrow p = 2s $$ para algunos entero $s$. Pero, a continuación, $$ (2s)^2 = 2t^2 \rightarrow 2s^2 = p^2 \rightarrow q^2 \mbox{ es aún}\rightarrow q \mbox{ es aún} $$ Pero si $p$ $q$ son ambos inclusive, se podría haber reducido la fracción $p/q$, debido a que el g.c.d de $p$ $q$ $2$ (posiblemente veces algún otro número entero). Por lo $\sqrt{2}$ no puede ser escrito como una fracción en forma reducida, por lo que es irracional.

Si usted ha tenido pre-cálculo, puede ser que esté familiarizado con el número $$ e = \sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!} $$. We can prove that $e$ is irrational in a slightly different way: If $e$ is rational, write it as $p/p$ with $p$ and $p$ números enteros. A continuación, considere el número real $$ r = q!\left( e - \sum_{k=0}^q\frac{1}{k!} \right) $$ Desde $q!e$ $(q-1)!p$ y por lo tanto un número entero, y cada término de la forma $\frac{q!}{k!}$ $k \leq q$ es, obviamente, un número entero, $r$ sería un entero.

Pero vamos a estimar el $r$ en otra forma.
$$ r = p!\a la izquierda(\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!} - \sum_{k=0}^q\frac{1}{k!}\right) = \sum_{k=p+1}^\infty\frac{p!}{k!} $$ Esto es obviamente positiva.
Pero para $k > q$, $$ \frac{q\,!}{k!} = \frac{q\,!}{q\,!} \frac{1}{p+1} \frac{1}{q+2} \cdots \frac{1}{k} < \frac{1}{p+1} \frac{1}{p+1} \cdots \frac{1}{p+1} $$ con $k-q$ términos en que el producto. Así $$ \frac{q\,!}{k!} < \frac{1}{(p+1)^k-q}$$ y $$ r < \sum_{k=p+1}^\infty\frac{1}{(p+1)^{k-q}}= \frac{1}{(p+1)^{q+1}}\frac{1}{1-\frac{1}{p+1}} =\frac{1}{(p+1)^{q+1}} \frac{q+1}{q} < \frac{1}{q(q+1)^p} < 1 $$ Así que si $e$ fueron racional, $r$ (definidos de esa manera) sería un entero positivo pero menos de $1$; esto no puede ser así de $e$ es irracional.

En general, la n-ésima raíz de un interger que no es perfecto, la n-ésima potencia es siempre irracional (por $n>1$). Otros de los que, usted probablemente no será capaz de demostrar que un número es irracional.

Por ejemplo, considere la posibilidad de $$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3} $$ Si demostrando que es irracional viene naturalmente a usted, entonces puedo decir con seguridad que tiene el talento para ser un profesional matemático. Al menos.

Para su P. S:

Obtenga un libro sobre el Látex preparación del documento del sistema, creado por Knuth. Expresiones en el Intercambio de la Pila por escrito en la forma que iba a ser escrito en LaTeX son bravos como si fueran de Látex. Por ejemplo, la expresión de texto \int x^\alpha dx, si delimitada por signos de dólar al principio y al final, sale como $\int x^\alpha dx$.

Un pequeño truco: puedes ver la fuente de una respuesta por intentar modificar la respuesta. No;t dejar de publicar sus ediciones, pero vas a ver que el Látex formularios utilizados.

Answer 4

Un truco interesante es considerar que $\mathbb{F}{41}$ ambos $5$ y $\pm\sqrt{5}+3=\pm 13+3$ son los residuos cuadráticos, mientras que $\pm\sqrt{5}-2$ no, así es el el campo división del polinomio mínimo de $\alpha=\sqrt{\sqrt{5}+3}+\sqrt{\sqrt{5}+2}$ $\mathbb{F}{41}$ $\mathbb{F}_{41^2}$ $\alpha$ no puede ser un número racional.