Aclaración sobre propiedades de cubo de unidad esfera de unidad dimensional superiores

Question

He sido el aprendizaje de la probabilidad y últimamente me he encontrado con este buen resultado (en Rick Durrett del libro):

La mayor parte del volumen del cubo unitario en $\mathbb{R}^n$ proviene del conjunto de $A_{n,\epsilon} := \{x \in \mathbb{R}^n \, : \,(1-\epsilon)\sqrt{\frac{n}{3}} < |x| < (1+\epsilon)\sqrt{\frac{n}{3}} \},$, que es casi la esfera de radio $\frac{n}{3}.$

Al mismo tiempo, sabemos que los dos hechos fundamentales que el volumen de la unidad de la bola en $\mathbb{R}^n$ va a cero, como se $n$ crece y el volumen de la unidad de cubo sigue siendo el mismo, pero la mayor parte del volumen se concentran en las esquinas del cubo.

Me doy cuenta de que estos dos puntos son bastante diferentes ideas por completo, pero me parece extraño que la mayor parte del volumen de un cubo de grandes dimensiones puede ser contenida dentro de una esfera y, sin embargo, también se concentra en las esquinas. Podría alguien aclarar lo que realmente está pasando? O tal vez mi entendimiento es.. yo no soy muy experimentado en la geometría. Gracias!

Answer 1

Yo no sabía que este resultado (+1), pero aquí es cómo me gustaría interpretar geométricamente:

Para $0 < r < \sqrt{n}$, vamos a $B(r)$ ser la intersección de la bola cerrada de radio $r$ centrada en el origen con el cubo unitario $[0, 1]^{n}$, y (fijo positivo $\epsilon \ll 1$) deje $S(r)$ denotar el shell $B(r + \epsilon) \setminus B(r - \epsilon)$.

Deje $c_{n}$ el valor del $(n - 1)$-dimensiones de volumen de la unidad de la esfera. Cuando $r \leq 1 - \epsilon$, $S(r)$ es una delgada capa esférica de radio $r$, cuyo volumen es $2\epsilon c_{n} r^{n-1} + O(\epsilon^{2})$. Cuando $r \approx \sqrt{n}$, $S(r)$ es una fina concha, cerca de la esquina lejana $(1, 1, \dots, 1)$, cuyo volumen es $O(\epsilon^{n})$. El volumen de $V(r)$ $S(r)$ (claramente?) una función continua de la $r$, y se desvanece en los "extremos", por lo que tiene un máximo; esto sucede a ocurrir en $r = \sqrt{\frac{n}{3}}$.

Más en lo cualitativo, el aumento de $r$ más allá de la $1$ (donde la esfera comienza a sobresalir del cubo) hace que el volumen de $V(r)$ a cambiar por dos razones: el aumento porque la esfera del volumen total es mayor, y disminuyendo debido a que más de la esfera se pega hacia fuera del cubo.

(Si en su lugar se cruzan las $n$-a la pelota con el cubo de $[-1, 1]^{n}$, todo lo que se multiplica por $2^{n}$, pero las proporciones de los volúmenes no cambian: el balón y el cubo comprenden $2^{n}$ congruentes orthants.)