En esta pregunta hemos de suponer que todas las fórmulas están en el idioma de $\sf ZFC$ y $\sf ZFC$ es consistente.
Recordemos que decimos que una fórmula $\varphi(x,y)$ representa un conjunto-como las relaciones de clase iff para cada $x$ la clase de todos los $y$ tal que $\varphi(x,y)$ formas de un conjunto (por ejemplo, $y\in x,\,y\subset x,\,x=y,\,y=\varnothing$ están establecidos, pero de a $x\in y,\,x\ne y,\,x=x$ no lo son).
Considere la siguiente propuesta de esquema (lo podemos llamar el Esquema de Cierre Transitivo para establecer relaciones):
Para cada conjunto-como la relación $\varphi$ y cada set $u$ hay un conjunto $v$ que es un superconjunto de a $u$ y es cerrado bajo $\varphi$. Más formalmente, si $\varphi$ no tiene ninguna de las variables $z, u, v$ gratis, $$\forall x\exists z\forall y\left[\varphi(x,y)\Rightarrow y\in z\right]\,\Rightarrow\,\forall u\exists v\left[u\subseteq v\land\forall x\forall y\left(x\in v\land\varphi(x,y)\Rightarrow y\in v\right)\right]$$
Si añadimos este esquema como un axioma, y la caída de la habitual axiomas de la Pareja, la Unión, el Infinito y de Reemplazo, podemos probar el caído como axiomas, teoremas en esta teoría? Es esta teoría equivalente a $\sf ZFC$?
