carácter multiplicativo evaluado en -1 (del libro de teoría de números de Ireland y Rosen)

Question

Estoy estudiando por mi cuenta la segunda edición de "A Classical Introduction to Number Theory" de Ireland y Rosen. Cerca del principio (página 153 en mi libro) del capítulo 11 los autores discuten el número de soluciones de una hipersuperficie en un campo finito.

En un punto implican el carácter de orden 2 en un campo finito de $q^s$ elementos. Sea este carácter denotado por X $q^s$ . A continuación mencionan que si $-1$ no es un cuadrado en el subcampo primo de q elementos, entonces X $q^s$ (-1)=-1 para s impar y X $q^s$ (-1)=1 para s par.

No entiendo por qué.

Gracias por la ayuda.

Answer 1

No tengo el libro conmigo, pero creo que tu problema está en la frase

Luego mencionan que si -1 no es un cuadrado en el campo...

que en realidad debería decir

... si -1 no es un cuadrado en $\mathbf F_q$ ...

(en otras palabras, en esta frase "el campo" es $\mathbf F_q$ no $\mathbf F_{q^s}$ .)

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En un campo finito con $q^s$ elementos (donde $q$ es impar), existe precisamente un carácter cuadrático, el símbolo de Legendre:

$$\mathbf F_{q^s}^* \to \pm 1$$

$$ a \mapsto \left(\frac{a}{q^s}\right) = a^{(q^s-1)/2}.$$

Ahora $(-1/q^s) = (-1)^{(q^s-1)/2}$ es $+1$ sólo si $q^s \equiv 1 \mod 4$ . Esto ocurre si $q \equiv 1 \mod 4$ y $s$ es arbitraria, o $q \equiv 3 \mod 4$ y $s$ es par. En otras palabras, si $-1$ no es un cuadrado en $\mathbf F_{q^s}$ entonces $s$ es impar y $-1$ no es un cuadrado en $\mathbf F_{q}$ (y a la inversa).