¿Qué importancia tiene la conjetura de Bunyakovsky?

Question

Bunuyakovsky conjetura afirma que:

Un polinomio irreducible $f(x)$ de grado dos o superior con coeficientes enteros y la propiedad de que $\gcd(f(1),f(2),......)=1$ genera para los argumentos naturales infinitos números primos.

Wikipedia artículo afirma que se trata de un importante problema abierto.

Mi pregunta es: ¿cuál es la importancia de la respuesta a este problema y por qué?

Answer 1

Como cuestión de ciencia empírica (es decir, concerniente sólo a la probabilidad de que la afirmación sea cierta, no a las pruebas de la conjetura) es importante preguntarse si los métodos para predecir el número asintótico de primos en las secuencias son fiables. Las secuencias polinómicas no son genéricas, pero tienen un claro interés como caso de prueba en el que existe una estructura algebraica. Saber hasta qué punto los modelos probabilísticos de la distribución de números primos son correctos, y cómo se relacionan con la geometría algebraica, es una cuestión motivadora básica en la teoría de números.

Como parte de la teoría matemática, sean cuales sean los métodos que puedan demostrar las predicciones, disponer de ellos sería un enorme avance que, casi con toda seguridad, conduciría a muchas otras cosas buenas. Por ejemplo, una técnica para demostrar las propiedades cuasirandomáticas lo suficientemente fuerte como para aplicarla a los primos, o un nuevo nivel de comprensión en la teoría analítica de los números, o una teoría utilizable de las soluciones primos de la ecuación algebraica similar a la geometría diofantina de los puntos enteros o racionales.

Como conjetura no es importante en el mismo sentido que las conjeturas de Weil o Langlands o la formulación de la teoría de los campos de clase, donde plantear la pregunta correctamente es un descubrimiento importante. Se trata más bien de un nombre único para una amplia familia de problemas similares (como los primos de tipo $x^2+1$ ) donde las obstrucciones de congruencia parecen ser la única razón por la que una secuencia podría no tener infinitos primos. La conjetura a menudo no tiene nombre, y creo que hay muchos matemáticos que conocen el enunciado de la conjetura pero no su nombre.

Answer 2

Actualmente, sabemos que los polinomios lineales generan primos, pero no sabemos nada de ningún polinomio no trivial de grado superior. No podemos demostrar, por ejemplo, que $x^2+1$ es primo para infinitos $x$ . Una prueba de Bunyakowsky resolvería toda la cuestión del polinomio-prima de una vez, y sería un avance tremendo. Así que las consecuencias serían enormes. Que eso lo haga importante es otra cuestión.