Probabilidades en la elección de comités

Question

Me quedé atascado en esta pregunta mientras tutoraba a un estudiante de Matemáticas 12:

P : Hay 12 chicos y 10 chicas en una clase. Un comité de 4 integrantes se elegirá al azar. ¿Cuál es la probabilidad (a la centésima más cercana) de que el comité esté formado por Ryan (presidente del colegio) y 3 chicas?

R : La respuesta oficial dice 0.2

No estoy seguro si estoy calculando esto correctamente, mi respuesta es:

(10C3 + 12C1) / (22C4) = (120 + 12) / 7315 = 0.0180 (que se puede redondear a 0.02)

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P : (b) si Ryan tiene que estar en el comité, ¿cuál es la probabilidad de que se elijan 3 chicas?

R : La respuesta oficial dice 0.09

¡No veo cómo esto es diferente de la pregunta anterior!

Mi mejor suposición sería:

10C3 / 21C3 = 120 / 1330 = 0.0902 (que se puede redondear a 0.09)

Creo que la redacción es lo que más me ha confundido aquí, ¡se agradecerían mucho cualquier consejo/sugerencia!

Answer 1

Su cálculo para la primera pregunta es incorrecto: solo hay $\binom{10}3$ formas de elegir un comité compuesto por Ryan y tres chicas, ya que la única libertad de elección está en la selección de las chicas. Por lo tanto, la probabilidad es

$$\frac{\binom{10}3}{\binom{22}4}=\frac{120}{7315}\approx0.0164\;,$$

o $0.02$ cuando se redondea a dos decimales. Por lo tanto, parece que la respuesta oficial deslizó el punto decimal.

La segunda pregunta solicita una probabilidad condicional: dado que Ryan está en el comité, ¿cuál es la probabilidad de que los otros tres miembros del comité sean chicas? Hay $\binom{21}3$ comités que incluyen a Ryan como uno de sus miembros, y como vimos en el primer problema, $\binom{10}3$ de estos tienen tres chicas. Por lo tanto, la probabilidad es

$$\frac{\binom{10}3}{\binom{21}3}=\frac{120}{1330}\approx0.09\;,$$

y en este caso la respuesta oficial es correcta.

Answer 2

El primer problema es similar a un problema que ya has preguntado. Hay $\binom{22}{4}$ comités posibles, por suposición todos igualmente probables.

Ahora nos preguntamos cuántos comités hay que consisten en Ryan y $3$ chicas. Hay $\binom{10}{3}$ formas de elegir a estas chicas.

El segundo problema es más sutil. No está claro en qué etapa te encuentras. En particular, no está claro si se ha introducido la maquinaria de probabilidad condicional. Vamos a asumir que no lo ha hecho.

Tu análisis es correcto. Dado que Ryan tiene que estar en el comité, estamos eligiendo $3$ personas de $22$.

Answer 3

La diferencia entre las dos preguntas es que en la primera tienes que elegir a las 4 personas mientras que en la segunda solo necesitas elegir 3 porque Ryan ya está en el comité.

El segundo problema es más fácil. El número de combinaciones solo de chicas es igual a 10C3 y el número total de combinaciones es 21C3 (Ryan ya está incluido). Por lo tanto, la probabilidad es ((10*9*8)/3!)/((21*20*19)/3!), que es aproximadamente 9%.

Ok, entonces el número de combinaciones que incluyen a Ryan y tres chicas es 21*20*19, simplemente divide esto por el total más grande sin restricciones, que es ((10*9*8)/3!)/((22*21*20*19)/4!), que es aproximadamente 1.64%.