¿Existe algún espacio de probabilidad $(\Omega,\mathcal F,\mathbb P)$ que admite variables aleatorias con todas las leyes posibles en $\mathbb R^n$ ?

Question

Tengo una pregunta sobre una afirmación que intuitivamente parece que debería ser un hecho canónico, pero que no encuentro en ningún libro de texto común sobre probabilidad. A saber, ¿existe un espacio de probabilidad $(\Omega,\mathcal F,\mathbb P)$ tal que para cualquier medida de probabilidad $\mu$ en $\mathbb R^d$ existe una variable aleatoria $X:\Omega\to\mathbb R^d$ tal que $X$ tiene derecho $\mu$ es decir $X_\#\mathbb P=\mu$ ? ¿Podemos hacer esto en un solo espacio de probabilidad como $d$ ¿se extiende sobre los números naturales?

Sospecho que el espacio $$([0,1]^\omega,\mathcal B_{[0,1]}^{\otimes\omega},\mathcal L^\omega)$$ debería servir, donde $\mathcal L$ es la medida de Lebesgue en $[0,1]$ que veo que puede reducirse simplemente a probar que $$([0,1]^d,\mathcal B_{[0,1]}^{\otimes d},\mathcal L^d)$$ trabaja para $\mathbb R^d$ pero los detalles de esta última parte se me escapan.

Answer 1

Supongamos que tenemos un (válido) distribución conjunta $F_{X_1, ..., X_d}(x_1, ..., x_d)=P[(X_1, ..., X_d)\leq (x_1,..., x_d)]$. Queremos generar un vector aleatorio $(X_1, ..., X_d)$ con que los conjuntos de CDF.

Método 1 (asumiendo que se puede calcular distribuciones condicionales):

• Comience con una sola variable aleatoria $U$ que es uniforme en el $[0,1]$.

• A partir de eso, generar yo.yo.d. uniforme de las variables de $Z_1, ..., Z_d$ como he mencionado en los comentarios anteriores.

• El uso de $Z_1$, generan $X_1$ de los marginales $F_{X_1}(x_1)$ el uso de la 1-d método en mis comentarios anteriores. Llame a $u_1$ el particular valor de $X_1$ que es elegido.

• El uso de $Z_2$, generan $X_2$ desde el condicional CDF $P[X_2\leq x_2 |X_1=u_1]$ a través de la misma 1-d método. Llame a $u_2$ el particular valor de $X_2$ que es elegido.

• El uso de $Z_3$, generan $X_3$ desde el condicional CDF $P[X_3 \leq x_3 | X_1=u_1, X_2=u_2]$.

y así sucesivamente.

Método 2:

• Empezar con $U$ uniforme sobre $[0,1]$.

• De $U$, generan el yo infinito.yo.d. secuencia $\{Z_i\}_{i=1}^{\infty}$ uniforme de las variables.

• Picar $\mathbb{R}^d$ en una contables de la colección de la desunión de la unidad de hypercubes $\{S_i\}$. Deje $p_i = P[(X_1, ..., X_d) \in S_i$]. El uso de $Z_1$ elegir aleatoriamente un hipercubo $i \in \{1, 2, 3, ...\}$ con prob $p_i$. Esto es como la determinación de las partes enteras de la aleatorios vectoriales $(X_1, ..., X_d)$. Para obtener el resto de las fracciones hacer los siguientes pasos.

• Refinar el elegido (hiper)cubo picar en $2^d$ de los subcubos, el uso de $Z_2$ elegir aleatoriamente un subcubo (con arreglo a los correspondientes probabilidades condicionales, dado que ya están en el más grande de cubo).

• Refinar el elegido subcubo por picar en $2^d$ sub-subcubos, el uso de $Z_3$ a elegir al azar una sub-subcubo.

• Y así sucesivamente, para cada una de las $Z_i$ refina nuestro (binario) de la expansión de la aleatorios vectoriales $(X_1, ..., X_d)$.

Una desventaja de este método es que se trata de un número infinito de pasos. Lo bueno es que las probabilidades condicionales necesarios están siempre bien definidos como los denominadores son siempre distinto de cero. De hecho, si en algún paso de la prob 0 se produce el evento de que usted termina para arriba en un cubo con masa de 0, acaba de detener el proceso y definir $(X_1, ..., X_d)=(0,0,...,0)$ (o, simplemente, empezar de nuevo si te gusta). Esto no afectará a la distribución, como ocurre con los prob 0. Es decir, con prob 1, en cada uno de los número infinito de pasos, podemos elegir un subcubo con probabilidad positiva de la masa.