¿Por qué aparece en las ecuaciones que describen la expansión cosmológica $8\pi/3$?

Question

¿Cuál es el significado de $8\pi/3$ en la primera Ecuación de Friedmanny en la cuestión de la independencia del tiempo de la constante de Hubble?

¿Es el 'mismo' $8\pi/3$ que aparece en la fórmula de la sección transversal total de dispersión de Thomson?

Answer 1

Cada vez que usted vea los productos de $\pi$ y la constante gravitacional $G$ aparecen en las ecuaciones (términos como $4\pi G$, $8\pi G$ o $16\pi G$), tenga en cuenta que esto es debido a Sir Isaac no haber puesto un área de superficie más que el cuadrado de un radio en el denominador de su gravedad la ley. No usar el "corrigió" la gravedad de la ecuación: $$F = G' \frac{m_1 m_2}{4 \pi r^2}$$ and continuing with $G$ instead of $G' = 4 \pi G$ caused a funny factor of $4\pi$ to appear in the Poisson (potential) formulation for Newtonian gravity: $$\nabla^2 \phi = -4\pi G \rho.$$ Todo esto sugiere $G' = 4 \pi G$ a ser la "verdadera" es la constante de gravitación. Cuando se utiliza en la primera ecuación de Friedmann el factor de $8 \pi G/3$ sería reemplazado por $\frac{2}{3}G'$.

Basado en el trabajo de Einstein, otros podrían argumentar que el $8 \pi G$ o $16 \pi G$ "más fundamental", pero, en cualquier caso, sin duda, sería significativo para absorber un factor de $\pi$ junto con un poco de poder de los dos en la constante gravitacional.

Answer 2

El $8\pi G$ proviene de Einstein del campo de ecuación, la normalización de la venida de la coincidencia de la ley de Newton en la nonrelativistic límite (c.f. "la correspondencia límite" en la página de la wiki). Creo que el $3$ probablemente proviene de la dimensión del espacio, pero me gustaría tener la verificación de la derivación de la ecuación de Friedmann, para asegurarse de que (mal! ver más abajo). Los factores numéricos son arbitrarios, ya que usted podría absorber en una redefinición de $G$ si te gusta. Así que es realmente histórica convención para hacer que la de Newton límite para la vigencia de la ley parecer más sencilla de la ecuación de Friedmann.

EDIT: Re Thompson sección transversal... nope. La relativa normalización de la gravedad y electrodinámica constantes puede ser elegido como más te guste. Una vez que elija el estándar de convenios sólo se cae a la forma en que se cae, pero no es "fundamental" sentido numérico coincidencia cuando se han independiente de dimensiones constantes disponibles para ajustar.

EDIT 2: yo estaba equivocado acerca de la $3$. El factor en Friendmann la ecuación en $d$ dimensión espacial es $$\frac{16\pi G}{d\left(d-1\right)}.$$

Venga de la dimensión del espacio, pero no de una manera obvia.