Demostrar que $13^n -4^n$ es divisible por $9$ para cada número entero $

Question

<blockquote> <p>Demostrar que $13^n - 4^n$ es divisible por $9$ para cada número entero $n$ es mayor o igual a $1$.</p> </blockquote> <p>He escrito abajo de mi respuesta pero no sé si es correcto.</p> <p>$ 13(13^k) - 4^{(k+1)}$<br>$= 9(13^k) + 4(13^k) - 4{(4^k)}$<br>$= 9(13^k) + 4(13^k - 4^k)$<br>$= 9(13^k) + 4(9a)$ donde $9a = 13^k -4^k$<br>$= 9(13^k + 4a)$<br>$= 9b$ donde $b=13^k + 4a$</p>

Answer 1

Sólo tiene que utilizar $a^n -b^n=(a-b)(a^{n-1} + ... + b^{n-1})$

Otra manera es usando inducción por n como lo hizo (más o menos) en el OP.

Answer 2

desde $$13\equiv 4 \mod 9$$ we get $% $ $13^n-4^n\equiv 4^n-4^n\equiv 0 \mod 9$

Answer 3

Para demostrarlo por inducción.

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En primer lugar, mostrar que esto es cierto para $n=1$:

$13^{1}-4^{1}=9$

En segundo lugar, asumir que esto es cierto para $n$:

$13^{n}-4^{n}=9k$

En tercer lugar, demostrar que esto es cierto para $n+1$:

$13^{n+1}-4^{n+1}=$

$13\cdot13^{n}-4\cdot4^{n}=$

$13\cdot13^{n}-(13-9)\cdot4^{n}=$

$13\cdot13^{n}-13\cdot4^{n}+9\cdot4^{n}=$

$13\cdot(\color\red{13^{n}-4^{n}})+9\cdot4^{n}=$

$13\cdot\color\red{9k}+9\cdot4^{n}=$

$9\cdot13k+9\cdot4^{n}=$

$9\cdot(13k+4^{n})$

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Tenga en cuenta que el supuesto sólo se utiliza en la parte marcada en rojo.

Answer 4

Caso base $ n=1$, $9$ es divisible por $9$. Asumir que es cierto para $ n>=1$, luego cambie $n$ $n+1$.

$13.13^n -4.4^n $ puede ser escrito como $9.13^n \, + 4.(13^n-4^n)$ y ambas partes son divisibles por 9.