Cómo encontrar una cartografía conformal del primer cuadrante.

Question

Encontrar una cartografía conformal del primer cuadrante sobre el disco de la unidad traz el % de puntos $1+i$y $0$ en el % de puntos $0$y $i$ respectivamente.

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Creo que necesito para usar "el cambio de variables $w=z^k$" pero, ¿cómo? Y ¿por qué aplicamos esto?

¿Por favor alguien explicar thisstep por paso? Muchas gracias:)

Answer 1

La composición de la conformación de los mapas es de conformación, a fin de obtener un mapa de conformación entre dos dominios, podemos - si parece más simple - mapa de la primera de dominio de conformemente a un simple intermedio de dominio y, a continuación, mapa intermedio, dominio de conformemente a la de destino (tal vez con más pasos intermedios).

Uno necesita saber algunas estándar de conformación de los mapas de curso. Un conocido de la familia de la conformación de los mapas son las transformaciones de Möbius. Estos nos permiten asignar cualquier (abierto) haf-plano conformemente a (abrir) en el disco, la asignación de cualquier prescrito punto en el interior de la mitad-plano del centro del disco.

Sabiendo eso, necesitamos un mapa de conformación del cuadrante a un semiplano. El límite del cuadrante tiene un vértice donde se juntan las dos rectas de la mitad de las líneas que componen el límite encuentran en un ángulo recto. El límite de la mitad de plano no tiene vértice en el plano, es una línea recta, en la esfera, un círculo. Así que necesitamos algo que endereza el ángulo derecho de los límites del cuadrante.

Ahora uno debe recordar que la potencia de los mapas de $z \mapsto z^k$ multiplicar los ángulos en $0$ $k$ escritura $z = \rho e^{i\varphi}$, $z^k = \rho^k e^{ik\varphi}$ - y para enderezar el ángulo recto en $0$ de los límites del cuadrante, necesitamos $k = 2$ (en general, para enderezar un ángulo de $\alpha$, necesitamos el poder $\pi/\alpha$ [que no tiene por qué ser un número entero]). Así que la primera parte de nuestro mapa es

$$s \colon Q \to \mathbb{H};\quad z \mapsto z^2$$

que se asigna el primer cuadrante $Q = \{ x+iy \in \mathbb{C} : x > 0, y > 0\}$ conformemente a la mitad superior del plano -$\mathbb{H} = \{ z \in \mathbb{C} : \operatorname{Im} z > 0\}$.

Entonces necesitamos un mapa de conformación $T \colon \mathbb{H} \to \mathbb{D}$ a partir de la mitad superior del plano-a la unidad de disco, que se asigna a$s(1+i) = (1+i)^2 = 2i$$0$$s(0) = 0$%#%.

Una transformación de Möbius asignación de $i$ $2i$y la línea real (el límite de la mitad superior del plano -) para el círculo unitario es

$0$$

Que aún no acababa de hacer lo que queremos, ya que $$T_0 \colon z \mapsto \frac{z-2i}{z+2i}.$, de modo que la componen, con una rotación que lleva $T_0(0) = \frac{-2i}{2i} = -1$$-1$, y que es la multiplicación por $i$, por lo que tenemos

$-i$$

para nuestro mapa de conformación de la mitad superior del plano-a la unidad de disco. Componer los dos conformación de mapas, se consigue $$T\colon z \mapsto -i\frac{z-2i}{z+2i}$, dado por

$f = T \circ s \colon Q \to \mathbb{D}$$

(Nota: Ese es el único mapa con las propiedades necesarias; si $$f(z) = -i\frac{z^2-2i}{z^2+2i}.$ es de conformación con $g \colon Q \to \mathbb{D}$$g(1+i) = 0$, $g(0) = i$ es un automorphism de $g\circ f^{-1}$ que corrige $\mathbb{D}$, por lo tanto, una rotación, y también corrige $0$, por lo tanto la rotación debe ser la identidad.)