Probabilidad de que la suma de eventos independientes supere un valor

Question

Supongamos que tengo $n$ generadores de números aleatorios. Una vez por hora, cada uno genera un número real aleatorio $x_k$ tal que $0 \le x_k \lt \infty$ . Cada generador produce sus valores según su propia función de distribución de probabilidad independiente $f_k()$ que es una función conocida. Por ejemplo, un generador puede seguir una distribución exponencial, otro puede seguir una distribución normal, etc.

Dejemos que $X = \sum\limits_{k=1}^n x_k$ para todos los generadores de números en una hora cualquiera.

Dado $y$ tal que $0 \le y \lt 1$ (una probabilidad), necesito encontrar un valor $z$ tal que $P(X \le z) = y$ .

Básicamente, necesito poder hacer algo como encontrar el valor que $X$ será menor o igual al 50% del tiempo.

Pido disculpas si me he equivocado en alguna notación, en realidad soy ingeniero de software así que sé algunas cosas de matemáticas pero otras no. Sé lo suficiente sobre la probabilidad para expresar el problema anterior, pero no sé ni por dónde empezar a resolverlo. Cualquier ayuda, o incluso sugerencia de lecturas sería muy apreciada.

Answer 1

Pues para empezar, si la distribución es de poisson, entonces también la suma de las variables tendrá distribución de poisson, con el parámetro igual a la suma de los parámetros.

En caso contrario (si $X_i$ admitir densidades $f_i$ ) ya que son independientes entonces el vector aleatorio $Z = (X_1, \dots, X_n)$ admite una densidad $f_Z (x_1, \dots , x_n) = f_1(x_1) \cdot \cdot \cdot f_n(x_n)$

Entonces se puede encontrar la distribución de $X_1 + \dots + X_n$ aplicando la fórmula de la transformación de Jacobi con la función $g(x) = (x_1,x_2, \dots, x_{n-1}, x_1 + \dots + x_n)$

De esta manera se puede encontrar la distribución de $(X_1,X_2, \dots, X_{n-1}, X_1 + \dots + X_n)$ y se puede calcular la densidad marginal (del último elemento del vector) de la forma habitual.

Dicho esto, es poco probable que puedas calcular todos esos pasos en un caso general, porque los cálculos tienden a ser muy difíciles.

Answer 2

Supongamos que todos ellos generan números aleatorios uniformemente distribuidos en el intervalo cerrado $[a,b]$ . Entonces su suma nunca superará $nb$ mientras que ese no sería el caso si estuvieran generando números aleatorios con distribución normal. La forma en que planteas la pregunta es demasiado genérica. Tienes que ser más específico sobre la distribución de cada variable aleatoria constitutiva de tu suma.

Si $n$ es grande, se puede invocar el Teorema del Límite Central. Tus variables aleatorias no tienen que estar idénticamente distribuidas (basta con la independencia). De este modo, sólo necesitas conocer la media y la varianza de la variable aleatoria en la suma para calcular las probabilidades, ya que la suma será aproximadamente normal.