Una declaración de "obvia" sobre un supremum nonincreasing

Question

Considere la posibilidad de una función no negativa $f(t,x): [0,\infty) \times [0,1] \rightarrow [0, \infty)$. Supongamos que tenemos la siguiente propiedad:

$$ \mbox{ If } ~~~~~~~~~~f(t,y) > \frac{1}{2} \sup_{x \in [0,1]} f(t,x) ~~~~~~~\mbox{ then}~~~~~~~ \frac{d}{dt} f(t,y) < 0 $$ In words, if any $y$ has $f(t,y)$ at least half as big as the largest $f(t,\cdot)$, then $f(t,y)$ es decreciente.

Parece muy natural que supongo que $$\sup_{x \in [0,1]} f(t,x) \mbox{ is nonincreasing in } t$$ This seems obvious - the ``top half'' of $f(t, \cdot)$ es siempre decreciente, entonces, ¿cómo puede el supremum aumento? Pero no veo cómo mostrar este matemáticamente. Por lo tanto mi pregunta es si esto es cierto.

Algunos comentarios:

1. El de arriba implícitamente asume que para cada $x$, $f(t,x)$ es diferenciable con respecto a $t$. Para asegurarse de que no hay nada extraño sucede en $t=0$, también vamos a suponer que la función de $f(t,x)$ es una función continua de $t$ por cada $x$.

2. Si ayuda, podemos suponer que su derivado $f_t(t,x)$ es una función continua de $t$.

3. Tenga en cuenta que no hay asunción de la diferenciabilidad o incluso la continuidad con respecto a $x$. Además, no hay ninguna suposición de que la suprema en cuestión debe permanecer finito.

Answer 1

Contraejemplo proporcionado por Daniel Fischer en un Comentario:

$$f(t,x) = \begin{cases} e^{-t} ,\quad &x = 0\ t/x ,\quad &x > 0\end{cases}$$

Observe que $\sup{x\in [0,1]}f(t,x) = 1$ cuando $t=0$ y $\sup{x\in [0,1]}f(t,x) = \infty$ cuando $t>0$.

De hecho, para cada fijo $x$, $f(t,x)$ es una función muy bonita de $t$. La condición de tener negativos $t$-derivado es en $t=0$, donde sólo $e^{-t}$ participa en él. También es positivo $t$, simplemente porque el supremum es infinito mientras que las funciones son finitas; para que ninguna de las funciones de tengas $f(t,y)>\frac12 \sup_{x\in [0,1]}f(t,x)$.

Answer 2

Voy a asumir "nonincreasing" significa "no-necesariamente-stricly decreciente". En este caso, es posible construir un contraejemplo.

Para cada una de las $n$, vamos a $\phi_n:[0,\infty)\to[0,\infty)$ ser una función de la satisfacción de:

1. $\phi_n(t)=t^{-1}$ $t\in[3^{-n},\infty)$,
2. $\phi_n(t)\leq\min\{t^{-1},3^n+1\}$ todos los $t$,
3. $\phi_n(0)=0$,
4. $\phi_n$ es estrictamente decreciente en a $[3^{-n-1},3^{-n}]$,
5. $\phi_n$ es suave.

Tales existen funciones estándar de la rugosidad de argumentos de la función.

Ahora, definir $$f(t,x)=\begin{cases}e^{-t};&x=0,\\\phi_n(t);&x=\frac1n,\text{ where $n\in\mathbb N$,}\\0;&\text{otherwise.}\end{cases}$$

Para simplificar la notación, vamos a $s_t$ ser el supremum bajo consideración en $t$. Nuestra definición implica que la $s_t=t^{-1}$$t>0$$s_0=1$. (En particular, $s_t$ es siempre finito y no nonincreasing.)

La función de $f$ cumple la condición de la derivada en $t=0$, ya que el $e^{-t}$, es decir, la única función con valor mayor que $\frac12s_0$$0$, es estrictamente decreciente en todas partes. Para $t>\frac13$, cada función de $f(\cdot,x)$ es estrictamente decreciente o cero, de modo que la condición se mantiene. Para $t\in(0,\frac13]$, hay un $n\in\mathbb N$ tal que $t\in(3^{-n-1},3^{-n}]$. Aquí, sólo es necesario considerar las funciones $\phi_1,\ldots,\phi_{n-1}$, ya que los demás son menos de $\frac12 t^{-1}$ o estrictamente decreciente por supuesto. Pero ninguno de estos toma valores superiores a $3^{n-1}+1<\frac12s_t$.

Por lo tanto, $f$ es un contraejemplo.

Observación. Si asumimos que el supremum es finito $[0,\infty)\times[0,1]$, la conclusión podría cambiar.