Invertibility, determinantes y polinomio mínimo

Question

Es necesario demostrar: Si un $A$ de la matriz es inversible, entonces el % polinomio mínimo $m_a(0) \neq 0$allí es una definición estoy seguro de o necesita ayuda para hacer más claro.

Procederá con la prueba por contraposición:

Debemos demostrar eso si $m_A(0) = 0$ $A$ no es inversible. Por definición de polinomio mínimo de $A$ tenemos:

$mA(x) = x^r - \lambda{r-1} x^{r-1} - \ldots - \lambda_1 x + \det(A)$. No estoy seguro sobre el término determinante aquí

Así, $m_A(0) = \det(A) = 0$. Sabemos que $\det(A) = 0 \implies A$ no es inversible.

Answer 1

Aquí es otra manera. Tenga en cuenta que $m_A(x) \mid \mathrm{char}_A(x)$ en particular si $m_A(0)=0$ $0$ es un valor propio de $A$. Así $A$ tiene núcleo no trivial y así no es inversible.

Answer 2

Este es otro método, si ayuda:

Así sabemos que $m_A(A)=0,$ si $mA(0)=0,$ es decir, si no hay ningún término constante, entonces podemos escribir que $A^r-\lambda{r-1}A^{r-1}+\cdots\pm\lambda1 A=(A^{r-1}-\lambda{r-1}A^{r-2}+\cdots\pm\lambda_1I)A=0.$ $A$ $A^{-1}$ es invertible, multiplicando a la derecha por $A$ muestra cuanto un polinomio de menor grado que su polinomio mínimo, da una contradicción.

Answer 3

Usted tiene una buena oportunidad, pero hay dos errores en su intento de prueba.

1. En general, el término constante del polinomio característico de a $A$ es un (matriz independiente) varios de $\det A$, pero el término constante de la mínima polinomio no es.
2. Incluso si estamos hablando del polinomio característico, su signo de la constante término no es correcto. El polinomio característico es $p_A(x)=\det(xI-A)$. Por lo tanto $p_A(0)=\det(-A)=(-1)^r\det A$. Aunque realmente no necesitamos la señal para responder a esta pregunta aquí, sería mejor si queremos obtener todos los detalles a la derecha.

Para una correcta prueba siguiendo tu línea de pensamiento, véase Jacob Schlather la respuesta. Para aprender una perspectiva diferente, usted debe leer Andrés respuesta.