Calcular la suma de la serie $\sum\limits_{i=0}^{n-1} i2^i$

Question

<blockquote> <p><strong>Posible duplicado:</strong><br> <a href="http://math.stackexchange.com/questions/11464/how-to-compute-the-formula-sum-limits-r-1d-r-cdot-2r">¿Cómo calcular la fórmula $\sum \limits_{r=1}^d r \cdot 2^r$?</a> </p> </blockquote> <p>¿Cómo puedo calcular el valor preciso de aquella serie: $\sum\limits_{i=0}^{n-1} i2^i$?</p> <p>Hasta ahora, he intentado diferenciar la serie de $ \sum\limits_{i=0}^{n} 2^i = 2^{i-1} - 1 $, pero por resultado $2^n(n+2)$ no es correcto según <a href="http://tinyurl.com/cftm89u" rel="nofollow">Wolfram</a> ($2^n (n-2)+2$).</p>

Answer 1

Cálculo discreto trabaja aquí. A través de Cálculo Discreto, hemos de sumación por partes:

$$\sum_{m\le k \le n} f_{k}(g_{k+1}-g_k)=f_{n+1}g_{n+1}-f_mg_m-\sum_{m \le k \le n}g_{k+1}(f_{k+1}-f_k), $$ donde $f_k$ $g_k$ son secuencias. Deje $f_k=k$$2^k=g_{k+1}-g_k$. A través de la observación, podemos ver que $g_k=2^{k}$ desde $2^{k+1}-2^k=2^k(2-1)=2^k$. Por lo tanto, tenemos (con $m=0$$n=u-1$): $$\sum_{0 \le k \le u-1}k2^k=u2^u-0\cdot 2^0-\sum_{0 \le k \le u-1}2^{k+1}(k+1-k)=u2^u-\sum_{0 \le k \le u-1}2^{k+1}.$$

Desde aquí se puede resolver observando la segunda suma es geométrica! :-)

---

Una más bella de la formulación de la suma por partes posee el avance diferencia operador definido $\Delta f_k=f_{k+1}-f_k$. En esencia, es una sustitución:

$$\sum_{m \le k \le n}f_k\Delta g_k=f_{n+1}g_{n+1}-f_mg_m-\sum_{m \le k \le n}g_{k+1}\Delta f_k.$$

La razón se llama 'sumación por partes' es debido al hecho de que es el Cálculo Discreto analógico de Continuo Cálculo de la integración por partes:

$$\int f'gdx=fg-\int fg'dx.$$

Encontrar la forma cerrada de las sumas parciales es el Cálculo Discreto analogía de encontrar la forma cerrada de las integrales indefinidas. Para una tabla de la forma cerrada de las sumas parciales y un gran elucidación de Cálculo Discreto, ver Donald E. Knuth del Concreto de las Matemáticas. Mientras que una muy CS basada en el libro y el CS no es lo mío, me resulta muy divertida y educativa.

Answer 2

$$\begin{array}{rll} S &=1\cdot2^1+&2\cdot2^2+3\cdot2^3+\cdots+(n-2)\cdot2^{n-2}+(n-1)\cdot2^{n-1} \ 2S &= &1\cdot2^2+2\cdot2^3+\cdots+(n-3)\cdot2^{n-2}+(n-2)\cdot2^{n-1}+(n-1)\cdot2^{n} \end{matriz} $$

Restando,

$$S-2S=1\cdot2^1+(2-1)\cdot2^2+\cdots+{(n-2)-(n-3)}\cdot2^{n-2}+{(n-1)-(n-2)}\cdot2^{n-1}-(n-1)2^n=(2^1+2^2+\cdots+2^{n-1})-(n-1)2^n=2\left(\frac{2^{n-1}-1}{2-1}\right)-(n-1)2^n=2^n{1-(n-1)}-2$$

Así, $S=2+2^n(n-2)$

Referencia: serie geométrica Arithmetico

Answer 3

Con la serie geométrica $$ \sum{m = 0} ^ {n-1} r ^ n = \frac{1-r^n}{1-r} $$ tenemos que \sum{m $$ = 1} ^ {n-1} m 2 ^ {m-1} = \frac{d}{dr}\frac{1-r^n}{1-r}\Big|{r=2} = 1-2 ^ n + n2 ^ {n-1} $$ pero $ \sum{m = 1} ^ {n-1} m 2 ^ {m-1} = \sum{m = 0} ^ {n-1} m 2 ^ {m-1} $$ por lo tanto $$ \sum{m = 0} ^ {n-1} m 2 ^ m = 2 (1-2 ^ n + n2 ^ {n-1}) $$

Answer 4

$$x+x^2+x^3+...+x^{n-1}+x^n=\frac {x^{n+1}-x}{x-1}$$ $+$ $$0x+x^2+x^3+...+x^{n-1}+x^n=\frac {x^{n+1}-x^2}{x-1}$$ $+$ $$0x+0x^2+x^3+...+x^{n-1}+x^n=\frac {x^{n+1}-x^3}{x-1}$$ $$.$$ $$.$$ $$.$$ $+$ $$0x+0x^2+0x^3+...+0x^{n-1}+x^n=\frac {x^{n+1}-x^n}{x-1}$$

Después de agregar obtenemos: $$x+2x^2+...+nx^n=\sum{i=1}^{n}\frac {x^{n+1}-x^i}{x-1}=\frac{nx^{n+1}}{x-1}-\sum{i=1}^{n}\frac {x^i}{x-1}=\frac{nx^{n+1}}{x-1}-\frac {x^{n+1}-x}{(x-1)^2}$ $