Límite superior simple para $\binom{n}{k}$

Question

Recuerdo haber visto un límite superior para la binomial $\binom{n}{k}$ con una función exponencial, algo así como $\binom{n}{k}\leq \left(ne/k\right)^k$ . ¿Qué es exactamente, y hay otros límites superiores buenos similares para $\binom{n}{k}$ ?

Editar : Como muestra el enlace del comentario de Macavity, el límite es efectivamente $\binom{n}{k}\leq \left(ne/k\right)^k$ . ¿Cómo podemos demostrarlo?

Answer 1

Supongo que está buscando el límite simple $$\binom{n}{k} < \left(\dfrac{e n}{k}\right)^k$$ Prueba: \begin{align} \binom{n}{k} &= \frac{n(n-1)\dots(n-k+1)}{k!} \\ &= 1\left(1-\frac{1}n \right)\cdots\left(1-\frac{k-1}n \right) \frac{n^k}{k!}\\ &< \frac{n^k}{k!} \qquad \text{as all factors on the left are }\le 1. \end{align}

De la serie Taylor de $e^x$ sabemos $\forall k \in \mathbb{N}, \; e^k > \dfrac{k^k}{k!}$ . Combinando esto con lo anterior, obtenemos el límite deseado.