Demostrar que:$$\sum_{i=1}^n x_{i} \cdot \sum_{i=1}^n \frac{1}{x_{i}} \geq n^2 $$ Los siguientes consejos también son de: $$\left(\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \geq 2 \right) \land x,y \gt 0$$
Caso Base: Para n = 2
$$\left(1+2\right) \cdot \left(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}\right) \geq 2^2$$
Inductivo hipótesis:
$$\sum_{i=1}^{n+1} x_{i} \cdot \sum_{i=1}^{n+1} \frac{1}{x_{i}} \geq \left(n+1\right)^2 = n^2+2n+1$$
Inductivo paso:
$$\sum_{i=1}^{n+1} x_{i} \cdot \sum_{i=1}^{n+1} \frac{1}{x_{i}} = \left(\sum_{i=1}^n x_{i}+(n+1)\right) \cdot \left(\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_{i}}+\frac{1}{n+1}\right) = \left(\sum_{i=1}^n x_{i} \cdot \sum_{i=1}^n \frac{1}{x_{i}}\right) + \left((n+1) \cdot \sum_{i=1}^n \frac{1}{x_{i}}\right) + \left(\sum_{i=1}^n x_{i} \cdot \frac{1}{n+1}\right) + (n+1) \cdot \frac{1}{n+1}$$
Palabras finales:
Llegué a la conclusión de que:
$$\left(\sum_{i=1}^n x_{i} \cdot \sum_{i=1}^n \frac{1}{x_{i}}\right) = n^2$$
He insertado para n = 1, de modo que $$\left((n+1) \cdot \sum_{i=1}^n \frac{1}{x_{i}}\right) = \frac{2}{1} \land \left(\sum_{i=1}^n x_{i} \cdot \frac{1}{n+1}\right) = \frac{1}{2}$$ Since $$\left(\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \geq 2 \right) \land x,y$$ was given as a hint in the beginning I thougt I can say that $$\left((n+1) \cdot \sum_{i=1}^n \frac{1}{x_{i}}\right) + \left(\sum_{i=1}^n x_{i} \cdot \frac{1}{n+1}\right) = 2n$$
Además es obvio que: $$(n+1) \cdot \frac{1}{n+1} = 1$$
Es bastante estándar de prueba por inducción y espero que tal vez puede darme algunos consejos sobre lo que podría haber hecho de manera diferente y verificar la legitimidad de esta prueba.
