Que parece que tienes una buena idea para una parte de la $1,$ a pesar de que es difícil de leer y entender. He aquí cómo me gustaría ajustar:
Supongamos $G$ es un grupo finito de orden $n,$, de modo que $G =\{x_1,x_2,\dots,x_n\},$ cuando la $x_i$ son distintos. Después de aplicar la transformación de $x\mapsto T(x)x^{-1},$ obtenemos $\{T(x_1)x_1^{-1},T(x_2)x_2^{-1},\dots,T(x_n)x_n^{-1}\}.$ queremos demostrar que este conjunto es igual a $G.$ sabemos que es un subconjunto de a $G$ desde $G$ es un grupo, y si podemos demostrar que sus elementos son distintos, entonces será igual a $G$ por el principio del Palomar. Por el contrario, supongamos que los elementos no son todos distintos, de modo que para algunos $i,j$ $i\ne j,$ hemos $$T(x_i)x_i^{-1}=T(x_j)x_j^{-1}.$$ Then $$T(x_j)^{-1}T(x_i)=x_j^{-1}x_i,$$ which leads to $$T(x_j^{-1}x_i)=x_j^{-1}x_i$$ by homomorphism properties, and so $x_j^{-1}x_i=e$ by the assumed property of $T$. But then $x_i=x_j,$ contradicting the fact that $i,j$ (and so $x_i,x_j$) son distintos.
Básicamente, es el mismo en lo que estaban diciendo, pero con mejor formato, la redacción y la ortografía. También quité la indeseables en el supuesto de que $G$ fue abelian. Además, he añadido el supuesto de que $G$ tenían orden de $n.$ (¿ves por qué es necesario?) También, ¿por qué la condición de $T(x)=x\implies x=e$ fue importante, aquí?
Como parte $2,$ déjame darte una pista.
Los siguientes son equivalentes: $$T^2=id\\\forall x\in G,T\bigl(T(x)\bigr)=x\tag{$\estrella de$}$$
Los siguientes son equivalentes: $$G\textrm{ is abelian}\\\forall g,h\in G,gh=hg\\\forall g,h\in G,ghg^{-1}h^{-1}=e\\\forall g,h\in G,(gh)^{-1}=g^{-1}h^{-1}\tag{$\heartsuit$}$$
Ahora, utilizando la parte 1, sabemos que para cada una de las $g\in G,$ hay un $x\in G$ tal que $g=T(x)x^{-1}$--vamos a llamar a este por el nombre de $x_g,$, por lo que sabemos que $g$ a que corresponde.
La aplicación de $(\star)$ y la parte $1$ nos da $$T(g)=T\bigl(T(x_g)x_g^{-1}\bigr)=T\bigl(T(x_g)\bigr)T(x_g)^{-1}=x_gT(x_g)^{-1}=\bigl(T(x_g)x_g^{-1}\bigr)^{-1}=g^{-1}$$ for each $g\en G.$ Can you use this together with $(\heartsuit)$ to show that $G$ es abelian?
