¿Es correcta mi solución para este problema integral?

Question

¿Puede alguien decirme si he cometido algún error en mi solución y si mi respuesta es correcta o no? ¿Hay algún método mejor o más rápido para resolver esto?

Si no puedes ver muy bien la escritura (y por lo tanto no puedes ver muy bien mi trabajo y respuesta), entonces observa que el problema se lee como "la integral de 0 a infinito de $\cos(bx)(x-\log(e^x-1)~dx$ donde $b>0$ "

\begin{align} \require{cancel} \int_0^\infty e^{-ax}\cos(bx)~dx&=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}\int_0^\infty\cos(bx)(bx)^{2n}~dx\\&=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-b^2)^n}{(2n)!}\int_0^\infty e^{-ax}x^{2n}~dx \quad\boxed{u=ax,~du=a~dx,~x=\frac ua} \\ &= \frac1a\sum_{n=0}^\infty\frac{(-b^2)^n}{(2n)!(a^2)^n}\int_0^\infty u^{2n}e^{-u}~du\\&= \frac1a\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{-b^2}{a^2}\right)^n\frac{\cancel{(2n)!}}{\cancel{(2n)!}}\\&= \frac1a\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{-b^2}{a^2}\right)^n=\frac1a\left[\frac1{1+\frac{b^2}{a^2}}\right]=\frac a{a^2+b^2} \end{align}

\begin{align} \require{cancel} \int_0^\infty e^{-ax}\cos(bx)~dx=\frac a{a^2+b^2}\implies \frac1{\cancel a}\left[\frac{\cancel a}{a^2+b^2}\right]&=\frac1a\int_0^\infty e^{-ax}\cos(bx)~dx\\&= \sum_{a=1}^\infty\frac1{a^2+b^2}=\sum_{a=1}^\infty\int_0^\infty\frac{e^{-ax}}a~dx \end{align}

$$\implies \frac{\pi b\coth(\pi b)-1}{2b^2}=\int_0^\infty\cos(bx)\sum_{a=1}^\infty\frac{e^{-ax}}a~dx\implies \sum_{a=1}^\infty\frac{e^{-ax}}a=\frac{e^{-x}}{1-e^{-x}}=\frac1{e^x-1}$$

\begin{align} \implies-\sum_{a=1}^\infty\frac{e^{-ax}}a=\int\frac1{e^x-1}~dx&\implies\sum_{a=1}^\infty\frac{e^{-ax}}a=-(\ln(e^x-1)-x)=x-\ln(e^x-1)\end{align}

$$\implies\small\sum_{a=1}^\infty\frac{e^{-ax}}a=\int_0^\infty\cos(bx)\sum_{a=1}^\infty\frac{e^{-ax}}a~dx=\int_0^\infty\cos(bx)(x-\ln(e^x-1))~dx=\frac{\pi b\coth(\pi b)-1}{2b^2}$$

Answer 1

Quieres volver a comprobar tu conclusión correcta de que si $b>0$ entonces $$\int_0^\infty\cos bx \ln(1-e^{-x})dx=\frac{1-\pi b \coth \pi b}{2b^2}.$$ Esta es una forma más elegante: $$-\sum_{n\ge 1}\frac{1}{n}\Re \int_0^\infty\exp-(n-ib)xdx=-\sum_{n\ge 1}\frac{1}{n^2+b^2}.$$ Terminar con $$\coth \pi b=\frac{1}{\pi b}+\frac{2b}{\pi}\sum_n\frac{1}{n^2+b^2}.$$