¿Lo que ' s mal con mi prueba que $\sigma(a)\subseteq[-\|a\|, \|a\|]$ de $a$ uno mismo-adjoint?

Question

Deje $U$ $C^*$- álgebra y $a\in U$ ser uno mismo-adjoint. Tengo una simple prueba de que $\sigma(a)\subseteq [-\|a\|,\|a\|]$ donde $\sigma(a)$ es el espectro de $a$.

Se va como sigue (los hechos que se utiliza son de todos conocidos en este punto):

Tenemos $\sigma(a) = \sigma(a^*) = \overline{\sigma(a)}$, por lo tanto $\sigma(a)\subseteq \mathbb R$. Desde $a$ es normal, tenemos $\|a\| = r(a)$ (donde $r(a) = \sup \{|\lambda| : \lambda \in \sigma(a)\})$. Por lo tanto $\sigma(a)$ está delimitado por $\pm \|a\|$, es decir,$\sigma(a) \subseteq [-\|a\|, \|a\|]$.

La razón por la que creo que esto tiene que estar mal es porque ambos Kadison-Ringrose y Bratelli-Robinson uso mucho más elaborados argumentos.

Lo que está mal con mi prueba?

Answer 1

(1) $\sigma(a)=\overline{\sigma(a)}$ no implica $\sigma(a)\subset \mathbb{R}$. Para probar esto, quisiera que use un poco cálculo funcional para álgebra de Banach. $a$ Hermítica, $e^{ia}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(ia)^n}{n!}$ es un unitario (tenga en cuenta que $(e^{ia})^*=e^{-ia}$ puede ser examinada directamente en la fórmula). Por lo tanto, $e^{i\sigma(a)}=\sigma(e^{ia})\subset {\lambda:|\lambda|=1}$. Así $\sigma(a)\subset \mathbb{R}$.

(2) Si es convergente, $|\lambda|>|a|$, entonces el $\sum{n=0}^{\infty}\frac{a^n}{\lambda^{n+1}}$y$(\lambda-a)\sum{n=0}^{\infty}\frac{a^n}{\lambda^{n+1}}=1=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a^n}{\lambda^{n+1}}(\lambda-a)$, por lo tanto,$\lambda\notin \sigma(a)$. Entonces obtenemos$\sigma(a)\subset [-|a|,|a|].$

Answer 2

Creo que la primera frase está mal. Implica, que $\lambda \in \sigma(A) \Rightarrow \bar{\lambda}\in \sigma(A)$, pero no que en este caso $\lambda = \bar \lambda$.

Answer 3

Tomemos como ejemplo $\mathbb D$, el disco de la unidad. $\overline{\mathbb D}=\mathbb D$ Como juegos, pero no haga sus elementos reales.