En general, la topología, que yo sé acerca de los locales de propiedades topológicas. En topología algebraica homotopy y cohomology teorías también es fácilmente comprensible. Para ejemplos de los números de Betti da información sobre el número de agujeros en espacios topológicos. Homotopy grupos da información acerca de, simplemente, la conectividad y la conductividad de los espacios. Mi pregunta es de que manera necesitamos teorías locales, tales como las cohomology y locales homotopy. ¿Cuál es la interpretación geométrica de estas teorías locales en topología algebraica. Por otra parte ¿cuál es la diferencia entre lo local y global de las teorías en topología algebraica?
Respuestas
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El local de la homología de grupos se definen como $H_k(U,U-x)$ donde $U$ es un pequeño barrio de $x$$X$. Esto puede verse fácilmente a ser el mismo que el reducido grupo de homología de la esfera al $X$ es un colector. Sin embargo veamos real variedades algebraicas.
Para un espacio de $Y$, denotamos por a $\overset{\circ}{c}(L_x)$ el abierto de cono sobre $L_x$.
Teorema : Vamos a $X$ ser un verdadero algebraicas variedad y $0 \in X$. Hay un espacio triangular $L_x$, un vecindario $V$$0$$X$, y un homeomorphism $f :U \cong \overset{\circ}{c}(L_x)$, el envío de $0$ sobre el vértice del cono.
Corolario : $H_k(U,U-x)$ es simplemente $\widetilde{H}_k(L_x)$, la reducción de la homología de grupos de $L_x$.
Interesante ejemplo es dado por el complejo de variedades de $xy = 0, x^3 = y^2, xyz = 0$.
Para la segunda parte de la pregunta, yo diría que no hay ninguna diferencia real desde cohomology da mundial de los invariantes utilizando datos locales. En un sentido, todo lo que es local. Más precisamente, todas las cohomology teoría son calculadas por la gavilla de la teoría.
Jack Bolding
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Quiero complementar Nicolás respuesta. El local de la homología de grupos de un mismo espacio puede ser útil incluso si nos a-priori de saber que todos los locales de la homología de grupos son isomorfos. Por ejemplo, en un colector sabemos que, $H^{n}(U,U\setminus \{x\})\cong H^{n-1}(S^{n-1})\cong\mathbb{Z}$. Sin embargo, no es una elección hecha en este isomorfismo, es decir, la elección del generador de la homología de la esfera.
Se puede construir un espacio por el encolado de las copias de $H^{n-1}(U,U\setminus \{x\})$ más de su colector. Una sección de este espacio existe si y sólo si el espacio es orientable. Una selección de sección, el cual es un generador en cada punto es una elección de la orientación.
Esto permite hablar de orientaciones topológico de colectores, que no tienen una tangente paquete, porque no hay ninguna suave de la estructura.
