Tengo en mente el próximo juego:
Dado $n$ puntos sobre $ \mathbb {R}$ se escogen dos puntos al azar y se trasladó a la ubicación de su promedio.
Por ejemplo, los puntos de recogida en el lugar $x_1, x_2$ y ambos se mudaron a $ \frac {x_1 + x_2}{2}$ .
No es difícil de mostrar, que el centro de la masa de tal sistema es estacionario, por simplicidad dejemos que se ubique en $0$ .
Me interesa la posibilidad de hacer converger todos los puntos hacia el centro de masa en un número finito de pasos (cada paso es elegir un par de puntos). Tengan en cuenta que esa convergencia asintótica es "obvia".
Para aclarar el punto anterior, se podría dejar de lado el supuesto de la selección aleatoria, en favor de mostrar si los puntos en posición general podrían ser llevados a la convergencia.
Por ejemplo, para $n = 2^k$ la estrategia es colapsar en serie pares de puntos, luego cuadruplicarlos, etc.
Estrategia para $n = 4$ :
- puntos de recogida en $x_1, x_2$ se mueven a $ \frac {x_1 + x_2}{2}$ .
- puntos de recogida en $x_2, x_4$ se mueven a $ \frac {x_3 + x_4}{2}$ .
- si no es que aún cada punto en $0$ escoge un punto en $ \frac {x_1 + x_2}{2}$ y uno en $ \frac {x_3 + x_4}{2}$ y se trasladan a $0$ (repita dos veces)
Para $n = 3$ si ninguno de los puntos está inicialmente en $0$ es imposible conducir todos los puntos a $0$ [es decir, no existe tal estrategia]. Para esta nota que en cualquier momento después del primer paso la división es un punto contra un par de otros dos puntos.
En este punto, tengo una conjetura, que para todos $n \neq 2^k$ una estrategia finita no existe. Con una intuición aleatoria, que ninguno de los $ \frac {1}{n}$ son finamente representables en binario.
¿Cuál debería ser mi dirección para probar esta conjetura?
ACTUALIZACIÓN: Mis pensamientos sobre esto $ \frac {1}{n}$ se acercan.
Después de establecer el centro de masa a $0$ sabemos $$ \frac {1}{n}x_1 + \frac {1}{n} x_2 + \ldots + \frac {1}{n} x_n = 0 $$
Sigamos los puntos como una combinación lineal de los puntos iniciales. Por ejemplo, si elegimos emparejar $x_1$ y $x_2$ entonces tenemos puntos $$ \frac {1}{2}x_1 + \frac {1}{2}x_2, \frac {1}{2}x_1 + \frac {1}{2}x_2, 1 \cdot x_3, \ldots , 1 \cdot x_n$$
Luego, después $m$ los puntos de paso en general parecen $$ \sum\limits_ {i=1}^n \frac {A_{1,i}}{2^m} \cdot x_i, \sum\limits_ {i=1}^n \frac {A_{2,i}}{2^m} \cdot x_i, \ldots , \sum\limits_ {i=1}^n \frac {A_{n,i}}{2^m} \cdot x_i, \text { with } A_{k,i} \in \{0, 1 \ldots , 2^m\}$$
Supongamos que existe una estrategia finita. Entonces [este es un punto débil] podríamos suponer de alguna manera $(x_i)$ es un conjunto independiente sobre $ \mathbb {R}$ y todos los coeficientes deben ser iguales.
Pero, ¿debemos suponer entonces, que $ \frac {A_k,i}{2^m} = \frac {1}{n}$ ?
