Saturado además sobre Tri-Estado emisor de entrada: ¿Qué estructura algebraica tipo de es este?

Question

Actualmente estoy trabajando con un "tri-estado emisor" en un contexto de la ingeniería. Para excitar a una respuesta de este dispositivo, uno proporciona una tensión de secuencia que consta de elementos de $\{-1,0,1\}$. Por ejemplo, una entrada válida se ve algo como esto:

Uno puede escribir de la forma de esta entrada como una secuencia: $(-1,1,0,0,-1,0,1)$. En general, si nos restringimos las entradas válidas para ser de longitud $L$, luego de una entrada válida es una tupla de la forma $\{-1,0,1\}^L$.

He sido auto-aprendizaje de algunos de álgebra en el lado, y se dio cuenta de que estas entradas válidas comenzar a parecerse a un espacio vectorial. Para ilustrar en el caso de $L=3$:

• a veces podemos agregar estas entradas muy bien elemento sabio: $(0,1,-1) + (1,0,1) = (1,1,0)$
• tenemos un aditivo elemento neutro $(0,0,0)$
• podemos multiplicar los insumos elemento sabio por escalares de $(-1,1,0)$
• en virtud de elemento-sabio, además de que cada elemento tiene un "inversa" en el sentido de que existe otra secuencia que envía al elemento neutro (pero los elementos no invertible)

Pero tenemos un problema aquí! Esto es debido a que no podemos especificar una entrada más grande que $1$ en valor absoluto para el generador de impulsos. Podemos modelar el generador de impulsos de entrada como de saturación, de modo que la entrada de $(1,-1) + (1,-1) = (1,-1)$. Esto implica que no debemos tener la asociatividad, como $-1+(1+1) = -1 + 1 = 0$ pero $(-1+1)+1 = 0+1 = 1$.

Al darse cuenta de esto, empecé a preguntarme si había alguna otra forma aceptable de definir el grupo de operación de ambos fielmente el modelo de la tri-estado del emisor, sino también obtener un grupo real de la estructura. Las entradas son en realidad una especie de "suma directa" de entradas individuales, y por lo que podemos considerar el problema en el individuo de nivel de entrada. Por desgracia, sólo hay un único grupo (hasta el isomorfismo) con tres elementos, y este es el grupo cíclico $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$.

Por desgracia, no tiene sentido físico a decir que la provisión de un muy alto nivel de tensión (ex. $6$) para el generador debe ser la misma cosa como la provisión de cero tensión en el generador de pulsos. De manera cíclica grupo no parece proporcionar un buen modelo.

Así que tenemos una estructura que superficialmente se parece a un espacio vectorial, donde:

• "además" es conmutativo, pero no asociativas
• "además" tiene un aditivo neutral, y "inversos" existen
• multiplicación por un escalar se define, tiene identidad, y es distributiva

Lo algebraicas objeto es esto?

(Entre paréntesis de seguimiento: Es el grupo de teoría de la realidad de la herramienta correcta para intentar entender esta estructura? Cualquier libro de introducción a la o el curso de la nota de las recomendaciones en el campo de las matemáticas que estudia estas extrañas estructuras se aprecia).

Answer 1

Permítanme mencionar en primer lugar que el $\Bbb F_3 = \Bbb Z / 3\Bbb Z = \{ -1, 0, 1\}$ es en realidad el campo con los tres elementos. La única cosa que usted realmente necesita recordar para hacer este trabajo es $1+1 = -1$, y por lo tanto también se $-1 - 1=1$. Con esto en mente, usted podría ver su $L$-secuencias como el espacio vectorial $\Bbb F_3^L$, pero estoy bastante seguro de que usted realmente desea $1+1$$1$, no $-1$.

En este caso, y si quieres, además de trabajar muy bien, creo que voy a tener que ampliar el espacio donde se trabaja a $\Bbb Z^L$, que es un $\Bbb Z$-módulo si usted quiere poner una etiqueta con su nombre en él.

De esta manera el cálculo sería $(1,0,-1)+(1,1,0)=(2,1,-1)$ y para obtener la secuencia real de las señales, de aplicar el signo de la función para cada entrada (que se podría definir como $\operatorname{sgn}(0):=0$$x\ne 0$, $$\operatorname{sgn}(x):=\frac{x}{|x|}.$$

Ahora esta en el otro lado puede que no te hacen muy feliz porque no poner una expresión algebraica de la estructura en $\{-1,0,1\}^L$. Sin embargo, siento que esto es lo que está sucediendo realmente.

Permítame explicar: yo creo que quieras $1+1+1+(-1)+(-1)=1$, es decir, cada señal negativa sólo puede cancelar una única señal positiva. Esto significa que usted tiene que trabajar en $\Bbb Z$. Ahora, usted también desea contraer todos los valores positivos a $1$ y todos los valores negativos de a $-1$, lo que significa que la partición de $\Bbb Z=(-\Bbb N)\cup\{0\}\cup\Bbb N$ y dividir por la relación de equivalencia correspondiente a esta partición. Ahora el problema es que esta partición no constituyen el cosets de un ideal o nada casi tan bueno como el de que, por lo que dividiendo por no mantener un montón de la estructura algebraica de $\Bbb Z$.

Así que me temo que sólo hay estas tres opciones:

1. Definir $1+1=1$ y aceptar que la operación no satisfacen los axiomas que "bonito" estructuras algebraicas hacer.
2. Trabajo a lo largo de $\Bbb F_3$ $1+1=-1$ (probablemente inaceptable)
3. Morder la bala y el trabajo en $\Bbb Z^L$.