Los enteros positivos tienen la forma$a^2+b^2+c^2+2^d$

Question

Para cualquier entero positivo $n$ parece ser enteros no negativos $a,b,c,d$ tal que

$$n=a^2+b^2+c^2+2^d.$$

Debido a Legendre tres cuadrados teorema de un número natural se puede representar como la suma de tres cuadrados de los números enteros

$$m=a^2+b^2+c^2$$

si y sólo si $m$ no es de la forma $m=4^a(8b+7)$, para los números enteros $a$$b$. Si la conjetura es verdadera, entonces para todos los $n\geq 1$ debe existir un $k$ tal que $n-2^k$ no es de la forma $m=4^a(8b+7)$.

Quiero ayudar a probar la conjetura o para encontrar un contra-ejemplo.

Answer 1

Reclamamos que$n$ se puede escribir como$a^2+b^2+c^2+x$ donde$x\in\{1,2,4\}$. De hecho, de lo contrario, debemos tener eso

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son cada uno de la forma$$n-1,n-2,n-4$. Sin embargo, todos estos números son$4^a(8b+7)$o$\equiv 0$, mientras que$\equiv 3\bmod 4$son miembros de residuos diferentes$n-1,n-2,n-4$. Entonces, solo queda probar esto en el caso para el cual estos no son todos números enteros positivos, a saber,$\bmod 4$. Tenemos

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