Esta es una pregunta que me hizo, pero no podía resolver, incluso después de algunos días de pensamiento. También si alguna terminología no está claro o no estándar, por favor, se quejan.
Cada uno de los grupos $G$$H$, podemos decir que el $G$ puede ser incrustado en $H$, si existe un inyectiva homomorphism $\varphi : G \to H$. (Tenga en cuenta que la imagen de $\varphi(G)$ entonces es isomorfo a $G$.) Estoy interesado en la situación en la que un par de grupos de $G$ $H$ puede ser incrustado en cada uno de los otros. Por supuesto, esto está garantizado para ser el caso cuando se $G \cong H$. Pero es a la inversa verdad? Más precisamente:
Q1. ¿Existen no isomorfos grupos $G$ $H$ de manera tal que cada uno de ellos puede ser incrustado en el otro?
Estoy interesado en esto porque, en mi opinión, esta pregunta es análoga a la de Cantor-Bernstein-Schroeder teorema en la teoría de conjuntos. Por supuesto, este punto de vista podría ser demasiado ingenuo o inútil. Oh, bueno.
El único "progreso" yo podría hacer es crear otra pregunta. Deje $\varphi_G:G \to H$ $\varphi_H:H \to G$ ser un par de incrustaciones como en la pregunta. A continuación, el homomorphism $\varphi := \varphi_H \circ \varphi_G : G \to G$ también es inyectiva; es decir, es una incrustación. Me puede mostrar que la imagen de este mapa ($K := \varphi(G)$) es un buen subgrupo de $G$ si $G \cong H$. Esto me lleva a otra pregunta:
Q2. No existe un grupo de $G$ que es isomorfo a un subgrupo de sí mismo?
Si la respuesta es negativa, tal es el caso de la Q1. Aunque ambos parecen "obviamente falso", no puedo probar. Tampoco puedo construir un contraejemplo. Alguna sugerencia?
Algunas observaciones:
Nada es intrínsecamente especial sobre los grupos de aquí. Supongo que uno podría hacer la misma pregunta para los anillos, campos, o de otras estructuras; me he centrado en esta cuestión específica de la claridad.
Traté de buscar a través de Wikipedia y de la búsqueda de libros de Google, pero no puedo averiguar la respuesta o donde puedo encontrar la respuesta.
No tengo idea de cómo de fácil o difícil a estas preguntas. Si son triviales/fácil (es decir, el nivel de un estándar de pregrado de la tarea de ejercicio), entonces por favor dame pistas en lugar de una solución completa :-).
