Para una función continua $f: R \to R $ Definir: $$ \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} \int_{0}^{x} f(t)t \space dt $$ Como la función es continua, puedo suponer que también es integrable, ya que la continuidad implica integrabilidad. Además, asumo que existe una función $F$ que es una antiderivada de $f$ para los que es cierto lo siguiente:
$$\int_{a}^{b} f(x) dx =F(b)-F(a) \space\space\space\space\space a,b\in R \space $$ $$ \lim_{x \to x_{0}} \frac{F(x)-F(x_{0})}{x-x_{0}}=f(x)$$ Y que para $f$ $$ \lim_{x \to x_{0}} f(x)=f(x_{0})$$
Para encontrar el límite, utilicé la integración parcial y terminé con: $$ \lim_{x \to 0} \frac{F(x)(x-1) +F(0)}{x^2}$$ En este punto, intenté utilizar la regla de L'Hôpital y terminé con el valor $\frac{f(0)}{2}$ lo que me parece totalmente erróneo . Cualquier consejo sería apreciado, sobre todo creo que mi idea de solución es errónea, pero estoy atascado.