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Cómo calcular $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} \int_{0}^{x} f(t)t \space dt $ ?

Para una función continua $f: R \to R $ Definir: $$ \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} \int_{0}^{x} f(t)t \space dt $$ Como la función es continua, puedo suponer que también es integrable, ya que la continuidad implica integrabilidad. Además, asumo que existe una función $F$ que es una antiderivada de $f$ para los que es cierto lo siguiente:

$$\int_{a}^{b} f(x) dx =F(b)-F(a) \space\space\space\space\space a,b\in R \space $$ $$ \lim_{x \to x_{0}} \frac{F(x)-F(x_{0})}{x-x_{0}}=f(x)$$ Y que para $f$ $$ \lim_{x \to x_{0}} f(x)=f(x_{0})$$

Para encontrar el límite, utilicé la integración parcial y terminé con: $$ \lim_{x \to 0} \frac{F(x)(x-1) +F(0)}{x^2}$$ En este punto, intenté utilizar la regla de L'Hôpital y terminé con el valor $\frac{f(0)}{2}$ lo que me parece totalmente erróneo . Cualquier consejo sería apreciado, sobre todo creo que mi idea de solución es errónea, pero estoy atascado.

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Ted Shifrin Puntos 33487

Por la regla de L'Hôpital, este límite es igual a $$\lim_{x\to 0} \frac{xf(x)}{2x} = \frac12\lim_{x\to 0} f(x) = \frac{f(0)}2.$$ (Utiliza el primer Teorema Fundamental del Cálculo para diferenciar la integral, ya que el integrando está garantizado como continuo). Has acertado.

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Aunque haya encontrado la respuesta correcta, sigo sintiendo que he tomado un atajo o un camino no permitido. ¿Es correcto el límite (que he indicado) después de utilizar la integración parcial o debería haber manejado la integración de otra manera para llegar a $ \lim_{x\to0}\frac{x\,f(x)}{2x} $ ?

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No necesitas integrarte. Utilice la parte de la FTC que le indica cómo diferenciar $\int_a^x g(t)\,dt$ cuando $g$ es continua. No entiendo tu solución. Si vas a utilizar la integración por partes, tendrás que integrar $\int_0^x F(t)\,dt$ ¿No es así?

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Bien, ahora lo veo, gracias.

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Studer Puntos 1050

El límite es efectivamente $f(0)/2$ . La regla de L'Hôpital se aplica porque el límite del cociente de las derivadas del numerador y del denominador existe. Así, $$ \lim_{x\to0}\frac1{x^2}\int_0^x f(t)\,t\,dt =\lim_{x\to0}\frac{x\,f(x)}{2x}=\frac{f(0)}2 $$

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Pero si se utiliza la antiderivada se obtiene: $$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} \int_{0}^{x} f(t)t \space dt = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} (F(x)-F(0)) =\\ \lim_{x \to 0}\frac 1 x \frac{F(x)-F(0)}{x} =\bigg(\lim_{x \to 0}\frac 1 x\bigg)\bigg( \lim_{x \to 0} \frac{F(x)-F(0)}{x}\bigg) =\\ \pm \infty \cdot f(x)$$

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@Sudix Usted obtiene $\lim_{x\to0}\frac{F(x)-F(0)}{x^2}$ . Sólo se puede separar el límite como lo hizo cuando existe el límite de los factores y algunos casos adicionales, pero no en el caso de que uno para los factores tiende a $\infty$ y el otro a $0=f(0)\cdot 0$ (no $f(x )$ como has escrito) como ocurre aquí.

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@spiralstotheleft Tienes razón, me olvidé del caso $f(0)=0$ pero si $f(0) \not = 0$ podemos hacer esta separación, así que algo sigue sin funcionar

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Clement C. Puntos 16603

Un enfoque que no se basa en la regla de L'Hopital.

Tenemos, por $x\neq 0$ y con el cambio de variable $u=\frac{t}{x}$ , $$ \frac{1}{x^2}\int_0^x t f(t)dt = \int_0^1 u f(xu) du $$ Ahora bien, no es difícil demostrar que $$ \lim_{x\to 0}\int_0^1 u f(xu) du = \int_0^1 u \lim_{x\to 0} f(xu) du = \int_0^1 u f(0) du = f(0)\left [\frac{x^2}{2}\right]^1_0 = \frac{f(0)}{2} $$ (donde el límite/integral de intercambio puede justificarse, por ejemplo, argumentando sobre la convergencia uniforme, utilizando la continuidad de $f$ ).

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Buen enfoque. Ni siquiera es necesario pensar en cosas como la convergencia uniforme si se considera $\left|\int_0^1 uf(xu)\,du - \int_0^1 uf(0)\,du\right|\le \int_0^1 u|f(xu)-f(0)|du< \epsilon\int_0^1 u\,du$ siempre que $x<\delta$ por continuidad (ya que $xu\le x$ para todos $0\le u\le 1$ ).

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@TedShifrin: Utilicé el mismo enfoque que mencionas en tu comentario y vi tu comentario después.

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@TedShifrin Sí, buen punto.

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Paramanand Singh Puntos 13338

Escriba $f(t) $ como $f(t) - f(0)+f(0)$ y entonces el límite deseado es $$\lim_{x\to 0}\frac{1}{x^2}\int_{0}^{x}\{f(t)-f(0)\}t\,dt+\frac{f(0)}{2}\tag{1}$$ A continuación podemos demostrar que el primer límite anterior es $0$ . Sea $\epsilon >0$ se le dará. Entonces por continuidad tenemos a $\delta>0$ tal que $$|f(x) - f(0)|<\epsilon $$ siempre que $|x|<\delta$ . Por lo tanto, tenemos $$\left|\int_{0}^{x}\{f(t)-f(0)\}t\,dt\right |\leq\int_{0}^{x}|f(t)-f(0)|t\,dt<\frac{\epsilon x^2}{2}$$ siempre que $0<x<\delta$ . Una desigualdad similar es válida cuando $-\delta <x<0$ . Por lo tanto, se deduce que el primer límite en $(1)$ arriba es $0$ . Por lo tanto, el límite deseado es $f(0)/2$ .

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