Confundido acerca de la transformación de la ecuación de onda de Laplace

Question

$$\frac{\partial^2}{\partial t^2} u(x,t) -\frac{\partial^2}{\partial x^2} u(x,t) =f(x), \quad 0<x<1, \quad t>0\\ u(x,0)=0, \quad \frac{\partial}{\partial t} u(x,0)=0\\ u(0,t)=0, \quad u(1,t)=0$$ Se supone que debo tomar la transformada de Laplace de la ecuación de onda que produce un no-homogénea de la ecuación diferencial ordinaria en términos de $\mathcal{L} \{f(x)\}$ $\mathcal{L} \{u(x,t)\}$ e su $x$-derivados.

Por favor alguien puede explicar la relación entre las dos funciones, y cómo es $x$,- derivados de los cambios se reflejarán en la función? Esta pregunta fue planteada como una pregunta, y estoy buscando un poco de orientación.

¿Cómo funciona una instalación de esta transformación de Laplace? ¿Por qué hay $t$ $x$ en el mismo sistema?

Answer 1

Asumiendo $\mathcal{L}$ transforma la $t$ variable en el $s$ variable. E. g. $u(x, t)$ a $U(x, s)$.

He añadido el $t$ subíndice del operador para indicar que actúa en $t$.

Los subíndices $xx$ la media de segundo orden de la derivada parcial con respecto a $x$, $tt$ la media de segundo orden de la derivada parcial con respecto a $t$.

Mi conjetura sería: $$ \mathcal{L}_t \{ u_{tt}(x, t) - u_{xx}(x, t) \} = \mathcal{L}_t \{ f(x) \} \ffi \\ s^2 \, U(x, s) - s \, u(x, 0+) - u_t(x, 0+) - U_{xx}(x, s) = f(x) \mathcal{L}_t \{ 1 \} $$

La idea es aplicar las condiciones iniciales aquí, a continuación, obtener una ecuación diferencial ordinaria para $U$, resolver por $U$ y, a continuación, utilizar la transformada inversa de Laplace para obtener una solución de $u$.

Answer 2

No he usado la transformada de Laplace mucho, pero creo que actuaría de forma similar a como la transformada de Fourier (la única diferencia es que la transformada de Fourier de actos en posición variable, por lo $x,y,z,\cdots$ y la transformada de Laplace actúa sobre la variable de tiempo). Con esto en mente, si usted toma la transformada de Laplace en ambos lados de la ecuación que se desea obtener: $$\mathcal{L}\{\partial^2_{tt}u\}-\mathcal{L}\{\partial^2_{xx}u\} = \mathcal{L}\{f(x)\}\\ \color{red}{\mathcal{L}\{\partial^2_{tt}u\}}-\underbrace{\partial^2_{xx}\mathcal{L}\{u\} = f(x)\color{blue}{\mathcal{L}\{1\}}}_{\text{the transform acts only}\\ \text{on time so it's independent}\\ \text{of the }x}\\ \color{red}{s^2U(x,s)-su(x,0^+)-\partial_tu(x,t)|_{t=0^+}} - \partial^2_{xx}U(x,s)=\frac{f(x)}{\color{blue}{s}}$$ El rojo sigue de la propiedad de derivación para la transformada de Laplace y el azul de la transformada de Laplace de $1$.

Como puede ver usted comenzó con una oda con dos parciales de la derivación y en la que llegó a un segundo orden de la educación a distancia en la función de $U(x,s)$. Esto significa que usted ha encontrado la solución a $U(x,s)$ usted puede encontrar directamente $u(x,t)$ anti-transformación! Si esto no es la cosa más hermosa que he visto nunca, no sé lo que sería.