Determine si la integral$ \int^{+\infty}_0\frac{e^{-t}} {\sqrt t} \, dt$ converge o diverge?

Question

ps

Lo he calculado obteniendo$$ \int^{+\infty}_0\frac{e^{-t}} {\sqrt t} \, dt$$$ \frac{2e}{3} \therefore \text{ it converges.}$$ using integration by parts letting $$u = \frac 1 {\sqrt t} $$ and $ $ ¿Es la manera correcta de hacerlo?

Answer 1

Si simplemente desea decidir la convergencia y no nota el truco en la respuesta de Henry Lee, puede ver lo siguiente. Cerca de cero, $$ \ int_0 ^ 1 \ frac {e ^ {- t}} {\ sqrt t} \, dt \ leq \ int_0 ^ 1 \ frac1 {\ sqrt t} \, dt, $$ que es convergente.

En infinito, $$ \ int_1 ^ \ infty \ frac {e ^ {- t}} {\ sqrt t} \, dt \ leq \ int_1 ^ \ infty e ^ {- t} \, dt <\ infty. $$ Entonces, la integral converge.

Answer 2

$$I=\int_0^\infty\frac{e^{-t}}{\sqrt{t}}\,dt$ $$u=\sqrt{t}\,,dt=2\sqrt{t}du$$$I=2\int_0^\infty e^{-u^2}\,du=\sqrt{\pi}$ $ Como es una integral estándar

EDITAR:$$I=2\int_0^\infty e^{-x^2}\,dx$ $ then$$I^2=4\left(\int_0^\infty e^{-x^2}\,dx\right)^2=4\left(\int_0^\infty e^{-x^2}\right)\left(\int_0^\infty e^{-y^2} \, dy\right) = 4\int_0^\infty \int_0^\infty e^{-(x^2+y^2)} \, dx \, dy$ $ ahora podemos usar coordenadas polares para simplificar esto. $x^2+y^2=r^2\,$ y$dA=dx\,dy=r\,dr\,d\theta$, por lo que nuestra integral se convierte en:$$I^2=4\int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^\infty e^{-r^2}r\,dr\,d\theta$ $ now$u=-r^2$ so$\frac{du}{dr}=-2r\, \therefore\,dr=\frac{du}{-2r}$ y la integral se convierte en:$$I^2=-2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{-\infty}e^u \, du \, d\theta = 2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_{-\infty}^0 e^u\,du\,d\theta = 2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \left[e^u\right]_{-\infty}^0 \, d\theta = 2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \, d\theta =2\cdot\frac{\pi}{2}=\pi$ $, si$I^2=\pi$ entonces $I=\sqrt{\pi}$

Answer 3

$$\int_0^{+\infty}\frac{e^{-t}}{\sqrt{t}}dt=\int_{0}^{1}\frac{e^{-t}}{\sqrt{t}} \, dt + \int_1^{+\infty}\frac{e^{-t}}{\sqrt{t}} \, dt=A+B$ $ para$A$ cuando$e^{-t}\sim1$ luego$$A=\int_0^1 \frac{e^{-t}}{\sqrt{t}}\,dt\sim\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{t}} \, dt < \infty$ $ para$B$ cuando$t\geq1$ luego$$B=\int_{1}^{+\infty}\frac{e^{-t}}{\sqrt{t}}\,dt\leq\int_1^{+\infty}e^{-t} \, dt < \infty$ $

Answer 4

Como Henry Lee la respuesta de las menciones, consigue $\sqrt\pi,$ $2e/3$ es malo. Pero si la función está en todas partes positivas y calcula correctamente y obtener un número finito en lugar de $+\infty,$, luego converge. Si es que no en todas partes positivas, entonces, el significado de la convergencia puede ser problemática. Por ejemplo, $$ \lim_{a\,\\,+\infty}\int_0^a \frac{\sin x} x \, dx = \frac \pi 2 $$ y eso es una especie de convergencia, pero $$ \int\limits_{\{\,x \,:\, (\sen x)/x \, \ge\,0\}} \frac{\sin x} x\,dx = +\infty \quad\text{ y } \quad \int\limits_{\{\,x \,:\, (\sen x)/x \, < \,0\}} \frac{\sin x} x\,dx = -\infty $$ y surgen algunas preguntas acerca de cuándo se debe considerar la cosa convergente.

Pero una cosa a tener en cuenta es que la cuestión de si algo converge o no, es a menudo más simple que la cuestión de lo que converge a. Así $$ 0 < \int_0^1 \frac{e^{-t}}{\sqrt t} \, dt \le \int_0^1 \frac 1 {\sqrt t} \, dt < +\infty $$ y $$ 0 < \int_1^\infty \frac{e^{-t}}{\sqrt t}\,dt \le \int_1^\infty e^{-t} \, dx = e^{-1} < +\infty $$ así que lo que tienes converge.

Answer 5

Si podemos calcular un valor finito para la integral de curso de la integral converge, pero si nuestro objetivo es simplemente para comprobar la convergencia no necesitamos calcular de forma explícita, pero se puede proceder por ejemplo por una rápida convergencia de la prueba.

Por ejemplo, en este caso tenemos que

$$ \int^{+\infty}_0\frac{e^{-t}} {\sqrt t} \, dt=\int^{1}_0\frac{e^{-t}} {\sqrt t} \, dt+ \int^{+\infty}_1\frac{e^{-t}} {\sqrt t} \, dt$$

y como $t\to 0^+$

$$\frac{e^{-t}} {\sqrt t} \sim \frac{1} {\sqrt t}$$

y como $t\to \infty$

$$\frac{e^{-t}} {\sqrt t} \sim \frac{1} {e^t}$$

por lo tanto la integral converge al límite de la prueba de comparación y, por tanto, la integral dada converge.