¿Cómo encontrar la suma de $1+(1+r)s+(1+r+r^2)s^2+\dots$?

Question

Me pidieron para encontrar la suma geométrica de las siguientes:

$$1+(1+r)s+(1+r+r^2)s^2+\dots$$

Mi primera forma de resolver el problema es ampliar los soportes y resolverlos en dos series geométricas diferentes y evaluar en conjunto la serie separada:

$$1+(s+rs+\dots)+(s^2+rs^2+r^2s^2+\dots)$$

El único problema es que no parece funcionar, como el tercer término, $(1+r+r^2 +r^3)s^3$ no parece caber la secuencia separada correctamente.

Cualquier ayuda sería apreciada.

Answer 1

Su suma puede escribirse como $$ \sum {n = 0} ^ \left {\infty} (\sum {k = 0} ^ {n} r ^ k\right) s ^ n = \sum {n = 0} ^ {\infty} \frac {1-r ^ {n+1}} {i-1} r ^ n = \frac {1} {1-r} \sum {n = 0} ^ {\infty} s ^ n-\frac{r}{1-r}\sum_{n=0}^{\infty} (rs) ^ n.$ $ se puede ¿tomar desde aquí?

P.d.: Aquí estamos suponiendo que el $|s|

Answer 2

Si usted multiplica su serie $r-1$, get$$(r-1)+(r^2-1)s+(r^3-1)s^2+\cdots,\tag1$$which is the sum of$$r+r^2s+r^3s^2+\cdots$$with$$-1-s-s^2-\cdots$$The sum of the first series is $\frac r{1-rs}$, whereas the sum of the second one is $-\frac1{1-s}$. Therefore,$$(1)=\frac1{r-1}\left(\frac r{1-rs}-\frac1{1-s}\right)=\frac1{(1-s)(1-rs)}.$$

Answer 3

Se amplió el paréntesis, pero en realidad no grupo:

$$1+(1+r)s+(1+r+r^2)s^2+...=1+(s+rs\color{red}{+...})+(s^2+rs^2+r^2s^2\color{red}{+...}).$$

Aquí está la manera de grupo: $$1+(1+r)s+(1+r+r^2)s^2+...=1+(\color{red}{s}+\color{green}{rs})+(\color{red}{s^2}+\color{green}{rs^2}+\color{blue}{r^2s^2})+\cdots=\\ (1+\color{red}{s}+\color{red}{s^2}+\cdots)+(\color{green}{rs}+\color{green}{rs^2}+\cdots)+(\color{blue}{r^2s^2}+r^2s^3+\cdots)=\\ \frac{1}{1-s}+\frac{rs}{1-s}+\frac{r^2^2}{1-s}+\cdots=\\ \frac{1}{1-s}(1+rs+r^2^2+\cdots)=\cdots$$ Se puede terminar?