Teoría de Galois por Rotman, Ejercicio 60, un campo de cuatro elementos utilizando el teorema de Kronecker y adjuntando una raíz de $x^4-x$ a $\Bbb Z_2$

Question

He estado trabajando a través de Rotman's Teoría de Galois y estoy perplejo con el ejercicio 60:

60. Utilice el teorema de Kronecker para construir un campo con cuatro elementos mediante la unión de una raíz adecuada de $x^4 - x$ a $\mathbb{Z}_2$ .

Puedo dividir $x^4 - x$ en $\mathbb{C}[x]$ (que no es un campo pero que está contenido en el campo $\operatorname{Frac}(\mathbb{C[x]})$ ).

Las raíces son $F = \{ 0, 1, \frac{-1 - i \sqrt{3}} {2}, \frac{-1 + i \sqrt{3}} {2} \}$ .

Entonces, ¿qué significa unir una raíz adecuada a $\mathbb{Z}_2$ ? No he podido construir un campo de cuatro elementos utilizando ninguna raíz compleja.

Así que fui y traté de usar la prueba de Thm 33 (Galois) que da una construcción. En este caso, F es como el anterior y tiene los cuatro elementos necesarios con $p = 2$ , $n = 2$ y $q = 4$ y de hecho $F \setminus \{0\}$ se comporta como se desea para la multiplicación.

El problema es la adición. ¿Cómo se define la adición? La suma normal no está cerrada, ni veo cómo definirla para que funcione. Además, teniendo en cuenta los teoremas de Kronecker y Galois, supongo que la adición debe definirse como lo haría en el campo contenedor.

Answer 1

No es necesario adjuntar una raíz compleja a $\mathbb{Z}_2$ . No puedes hacerlo aunque lo intentes porque $\mathbb{C}$ y $\mathbb{Z}_2$ tienen características diferentes.

En cambio, la pista es utilizar el teorema de Kronecker, así que vamos a hacerlo.

En primer lugar, ¿cuáles son las raíces evidentes de $f(x) = x^4 - x$ en $\mathbb{Z}_2$ ? Claramente, $\bar{0}$ y $\bar{1}$ son ambas raíces de $f$ . Por lo tanto, podemos calcular $x$ y $x - 1$ para conseguir $f(x) = x(x-1)(x^2+x+1)$ . Tenga en cuenta que $x^2 + x + 1$ es irreducible sobre $\mathbb{Z}_2$ . Por el teorema de Kronecker, existe un campo de extensión de $\mathbb{Z}_2$ que contiene una raíz de $x^2+x+1$ que también es una raíz de $f(x)$ . El grado de la extensión es igual al grado del polinomio $x^2 + x + 1$ ya que es irreducible sobre $\mathbb{Z}_2$ . Una extensión de grado dos de $\mathbb{Z}_2$ debe contener $4$ elementos (¿ves por qué?) y así hemos terminado.

Answer 2

En el ejercicio, se le pide que trabaje en el campo $\mathbb Z_2$ que es de característica $2$ . Así que no se puede dividir $p(x) = x^4-x$ en $\mathbb C$ .

Ahora puedes escribir en $\mathbb Z_2$ : $$p(x) = x(x^3-1)=x(x+1)(x^2+x+1)$$

Si $\zeta$ es una raíz de $q(x) = x^2+x+1$ (que es irreducible en $\mathbb Z_2$ ) en un campo de división, el otro es $1+\zeta$ como $(1+\zeta)^2+(1+\zeta) + 1=1+\zeta^2+ 1 +\zeta +1 = 1+1=0$ .

En cuanto a su problema que es la adición

Así que los cuatro elementos de un campo de división de $p$ en $\mathbb Z_2$ son $z_1=0, z_2=1, z_3=\zeta, z_4=1+ \zeta$ . Y con respecto a la adición, usted tiene

$$\begin{matrix} + & 0 & 1 & \zeta & 1+\zeta\\ 0 & 0 & 1 & \zeta & 1+\zeta\\ 1 & 1 & 0 & 1+\zeta & \zeta\\ \zeta & \zeta & 1+\zeta & 0 & 1\\ 1+\zeta & 1+\zeta & \zeta & 1 & 0\\ \end{matrix}$$

Answer 3

Sugerencia :

Sobre cualquier anillo conmutativo, se tiene la factorización $$x^4-x=x(x^3-1)=x(x-1)(x^2+x+1).$$ Ahora sobre el campo con dos elementos $\mathbf F_2$ es fácil de comprobar $x^2+x+1$ es irreducible, por lo que el cociente $\;\mathbf F_2[x]/(x^2+x+1)$ es un campo. Denotando $\xi=x\bmod x^2+x+1$ , usted tiene por construcción $\xi^2+\xi+1=0$ Por lo tanto $\;\xi^4-\xi=0$ .

Este campo es un $\mathbf F_2$ -espacio vectorial de dimensión $2$ , por lo que tiene $2^2=4$ elementos.

Answer 4

No entiendo por qué se habla del campo $\mathbb C$ . No tiene nada que ver con este ejercicio.

En fin, $x^4-x=x(x-1)(x^2+x+1)$ y $x^2+x+1$ no tiene raíces en $\mathbb{Z}_2$ . Por lo tanto, considere el campo $\mathbb{Z}_2[x]/\langle x^2+x+1\rangle$ que tiene exactamente $4$ elementos.

Answer 5

El campo es $\mathbb Z_2(\xi)$ , donde $\xi^2+\xi+1=0$ . Es un $\mathbb Z_2$ -espacio vectorial de dimensión $2$ con base $\{1,\xi\}$ . Así ha $4$ elementos.

También se puede escribir como $\frac{\mathbb Z_2[x]}{(x^2+x+1)}$ .