Topología algebraica para espacios no agradables

Question

Recientemente leí algo así como "La topología general trata de las propiedades agradables de espacios patológicos, y la topología algebraica de las propiedades patológicas de espacios agradables".

En cierto sentido, esto es consistente con mi experiencia en ambos temas, al menos en la parte referente a los espacios de los que estamos hablando: en topología general a menudo se piensa en los casos más desfavorables posibles (por ejemplo, espacios totalmente desconectados, espacios no separados, etc.), pero en topología algebraica, estos casos suelen excluirse: si alguien dice "pero el espacio debe estar conectado", en topología algebraica añadiremos esto como una hipótesis sin pensarlo dos veces; a menudo tratamos solo con CW-complejos, o "espacios conectados, localmente conexos por caminos, semi-localmente conexos por caminos" que están muy lejos de las bestias que preocupan en la topología general.

Por supuesto, esto es muy esquemático y estoy generalizando (aunque si piensas que es una mala generalización, ¡por favor dime!), especialmente sobre topología general.

Sin embargo, es fácil plantear afirmaciones naturales sobre espacios agradables en topología general, podemos fácilmente añadir hipótesis como la conexión por caminos, etc.

Pero ¿podemos ir en la otra dirección? ¿Existe alguna "topología algebraica de espacios patológicos"?

Por supuesto, tendría que verse muy diferente de lo que suele ser la topología algebraica (al menos la que conozco): por ejemplo, el grupo fundamental de un espacio totalmente desconectado es bastante inútil.

Pero no puedo ver una razón por la cual, a priori, uno no podría asociar invariantes algebraicos interesantes a espacios patológicos, quizás no serían grupos, sino alguna otra cosa. Para una pregunta más formal (aunque aún vaga): ¿hay alguna razón por la que no existan funtores agradables de $\mathbf{Top}$ a categorías "algebraicas"? (Añado la etiqueta de "teoría de categorías" porque puede haber una respuesta relacionada con la estructura de $\mathbf{Top}$ que obstaculizaría la existencia de tales funtores)

Answer 1

De hecho, hay una teoría activa de topología algebraica para espacios "patológicos" que ha avanzado mucho en las últimas dos décadas: Wild (algebraic/geometric) Topology. De hecho, esto se ha convertido en un campo pequeño en sí mismo con mucho impulso reciente.

Las descripciones de los grupos fundamentales se vuelven más complicadas porque en un espacio salvaje puede haber secuencias de bucles no triviales que se encogen, lo que te permite formar varios tipos de productos infinitos en $\pi_1$. Por lo tanto, la topología algebraica salvaje requiere más que solo las herramientas habituales de la topología algebraica, sino que también está profundamente relacionada con la teoría del orden lineal, la teoría del continuo, la teoría de conjuntos descriptiva y el álgebra topológica.

Aquí hay un ejemplo de un resultado asombroso de este campo, que aborda tu interés en detectar el tipo de homotopía:

Clasificación de Homotopía de Continuos de Peano 1-Dimensionales (K. Eda): Dos continuos de Peano de 1 dimensión (por ejemplo, pendiente hawaiana, alfombra/triángulo de Sierpinski, cubo de Menger) son homotópicamente equivalentes si y solo si sus grupos fundamentales son isomorfos.

El trabajo conjunto de Greg Conner y Curtis Kent anunciado el año pasado prueba lo mismo para continuos planares de Peano.

Una vez que te das cuenta de lo complicados que son estos grupos debido a los tipos de productos infinitos que pueden ocurrir (aunque existe una especie de cálculo de palabras), es absolutamente notable que tales teoremas sean verdaderos... casi escandalosos. Resultados como el anterior son muy difíciles de probar. El resultado de Eda requirió mucha inventiva y maquinaria que se está utilizando y ampliando en trabajos actuales.

Aquí hay un poco más de historia previa al 2000:

1950s - 1960s: Hubo algunos artículos dispersos de algunos matemáticos prominentes, por ejemplo, Barrat/Milnor, H.B. Griffiths, Curtis/Fort.

1970s: La teoría de la forma se desarrolló para extender los métodos teóricos de homotopía y proporcionar invariantes para espacios más generales. La idea de la teoría de la forma es entender los objetos como (o al menos aproximados por) límites inversos de los espacios "agradables" habituales, aplicando tu invariante a los espacios aproximados agradables, y llamar al sistema inverso de objetos algebraicos un "pro-invariante" y al límite inverso un "invariante en forma". El libro Shape Theory de Segal y Mardesic es, creo, el mejor libro sobre este tema. Sin embargo, los invariantes de forma solo a veces ayudan a comprender el tipo de homotopía y los invariantes algebraicos tradicionales de espacios salvajes.

1980s: No pasó mucho excepto por Morgan y Morrison arreglando la descripción del grupo fundamental de la pendiente hawaiana de H.B. Griffiths.

1990s: Katsuya Eda, cuyo background era en lógica, descubrió que el Grupo Fundamental de la Pendiente Hawaiana se comporta como una versión no abeliana del famoso grupo Specker $\prod_{\mathbb{N}}\mathbb{Z}$. Eda fue el primero en hacer la conexión clave con la teoría del orden y describir el grupo de la pendiente hawaiana como un grupo de palabras lineales reducidas $w$ (como un grupo libre) donde $w$ tiene infinitas letras y cada letra de tu alfabeto solo puede aparecer finitas veces en $w$. Este trabajo hizo que el grupo de la pendiente hawaiana fuera práctico de usar; es clave para muchos avances recientes.

Desde el trabajo de Eda se ha hecho mucho y ahora hay una gran cantidad de literatura sobre el tema.

Answer 2

En cierto sentido, esta es una pregunta filosófica. Como dijiste, la topología algebraica generalmente se enfoca en "espacios agradables" como poliedros, complejos CW o variedades. Por un lado, esto tiene razones históricas. Por ejemplo, la teoría de homología comenzó con complejos simpliciales y solo con el tiempo se orientó hacia espacios generales. Por otro lado, si uno está interesado en cálculos efectivos de, digamos, grupos de homología singular, debe restringirse a espacios que lo hagan posible. Una vez más, llegamos a poliedros, complejos CW y variedades.

Muchas personas han pensado mucho en cómo desplazar el límite hacia espacios más generales, y han obtenido resultados como la (co)homología de Cech y la homología de Steenrod. Consulta, por ejemplo, mi respuesta a https://math.stackexchange.com/q/2807820.

En mi opinión, el contexto general de enfoques como este es la teoría de la forma. Consulta las referencias en mi respuesta mencionada anteriormente y, por ejemplo,

Mardešic, Sibe, y Jack Segal. Shape theory: the inverse system approach. Vol. 26. Elsevier, 1982.

Consulta también https://en.wikipedia.org/wiki/Shape_theory_(mathematics).

La filosofía general para estudiar espacios no agradables $X$ es aproximarlos mediante espacios agradables. Hay dos métodos "duales": estudiar $X$ a través de mapas desde espacios agradables hacia $X o estudiar $X$ a través de mapas desde $X$ hacia espacios agradables. El primer enfoque se puede denominar el enfoque singular; termina con substitutos CW para $X$ (en pocas palabras, $X$ y un sustituto CW $X$ admiten los mismos mapas que viven en espacios agradables). El segundo enfoque conduce a aproximar $X$ mediante sistemas inversos de espacios agradables, que es la esencia de la teoría de la forma. No digo que un enfoque sea superior al otro, simplemente son diferentes puntos de vista. Sin embargo, recomiendo echar un vistazo a las referencias anteriores para ver que la teoría de la forma ha producido una serie de resultados interesantes e invariantes algebraicos.

Answer 3

Una razón es que la mayoría de los invariantes algebraicos son invariantes homotópicos, lo que significa que el invariante algebraico toma la forma de un funtor $F:\mathbf{Top} \to \mathcal A$ y que cualquier equivalencia homotópica débil $f:X\to Y$ se mapea a un isomorfismo $F(f)$ en $\mathcal A.

Pero en $\mathbf{Top}$, cada espacio $X$ puede asociarse con un complejo CW $X'$ junto con una equivalencia débil $X' \to X. (Explícitamente, $X'$ puede tomarse como la realización geométrica del conjunto simplicial $\mathrm{Sing}\,(X)$ de símplices singulares.) Así que estudiando únicamente el valor de los invariantes en complejos CW, se obtiene el invariante para cualquier espacio topológico, siempre y cuando se pueda calcular dicho $X'$ como antes para cualquier $X$.

Por supuesto, esto solo da una idea de por qué las cosas son como son y no de por qué la gente no intentó ir a empujar la topología algebraica hacia funtores no invariantes homotópicamente. Quizás simplemente porque ya no se considera topología algebraica: se supone que este campo estudia objetos algebraicos calculados a partir del aspecto general/forma de un espacio, y se supone que la deformación homotópica no debe cambiar este aspecto. O tal vez hemos ido demasiado lejos en generalidad al definir espacios topológicos, y los espacios patológicos son artefactos no deseados: recuerda que los espacios topológicos son una modelización tentativa de los espacios "reales" que tenemos alrededor (en física y otros campos relacionados, por ejemplo); no hay evidencia de que los espacios topológicos sean el camino correcto a seguir, y han surgido algunas otras nociones desde entonces, como los locales (una especie de espacios sobrios generalizados). Este último párrafo son solo conjeturas salvajes de mi parte y no necesariamente reflejan una opinión general.