Encuentra el valor de $ \int_0 ^{ \infty } \frac {2x^2-1}{4x^4+1}\,{dx} $

Question

Encuentra $ \displaystyle \int_0 ^{ \infty } \frac {2x^2-1}{4x^4+1}\,{dx} $

Puedo encontrar lo primitivo, pero el hecho de que la respuesta sea $0$ me hizo sospechar que podría haber una forma de obtener una respuesta sin encontrar lo primitivo. Intenté dejar que $x = 1/y$ pero no me llevó a ninguna parte.

Answer 1

En lugar de sustituir $x = \dfrac {1}{y}$ trata de sustituir $x = \dfrac {1}{2y}$ .

Esto te da:

\begin {alineado*}I &= \displaystyle\int_ {0}^{ \infty } \dfrac {2x^2-1}{4x^4+1}{4x^4+1},dx \\ &= \displaystyle\int_ { \infty }^{0} \dfrac { \tfrac {1}{2y^2}-1}{ \tfrac {1}{4y^4}+1} \cdot - \dfrac \\ &= \displaystyle\int_ {0}^{ \infty } \dfrac { \tfrac {1}{2y^2}-1}{ \tfrac {1}{4y^4}+1} \cdot \dfrac \\ &= \displaystyle\int_ {0}^{ \infty } \dfrac {\a6}{\b1}{\b1}{\b1}4y^4+1},dy{\b}{\b} \\ &= - \displaystyle\int_ {0}^{ \infty } \dfrac {\a6}{\b1}{\b1}{\b1}{\b1}{\b1}{\b1}{\b1}{\b1}Aquí.{\b}} \\ &= -I. \end {alineado*}

Desde $I = -I$ Tenemos $I = 0$ .

Answer 2

Pista:

$4x^4+1=(2x^2)^2+1^2=(2x^2+1)^2-(2x)^2=?$

Ahora usa la descomposición parcial de la fracción