Si$p>3$, ¿cuáles son las dos soluciones de$x^2 ≡ 4 \pmod p$?

Question

Teorema utilizado: "Supongamos que $p$ es una extraña prime. Si $p \nmid a$, $x^2 ≡ a \pmod p$ tiene exactamente dos soluciones o ninguna solución."

Pregunta: Si $p>3$ ¿cuáles son las dos soluciones de $x^2 ≡ 4 \pmod p$?

La solución dada en la espalda: $2$$p-2$.

Soy incapaz de averiguar cómo hacemos para que esta respuesta?

Hasta el momento lo que puedo pensar es que: como $p>3$ $p$ es un primer para $p$ debe $5$ o $7$ o $11$ algo. Así que todos ellos son mayores de $4$. Por lo $x^2 ≡ 4 \pmod p$ debe tener soluciones como $4$$p-4$. ¿Cómo podemos conseguir $2$ no?

Answer 1

Como$2^2=4$, es seguro que$2^2\equiv 4\pmod p$ para cualquier$p$.

Por lo tanto, según el teorema que estás citando, debe haber otra solución; ya que $$ (-2) ^ 2 = 4 $$ también$-2\equiv p-2\pmod p$ es una solución.

Tenga en cuenta que $p-2\not\equiv 2\pmod{p}$. La condición$p>3$ es irrelevante, solo que es una primicia impar suficiente.

Answer 2

Sugerencias

• Para la primera ecuación si la ecuación$x^2\equiv a\mod p$ tiene una solución$x_1$, entonces cualquier otra solución debe verificar$x^2\equiv x_1^2 \mod p$, lo que implica$p$ divide$x^2-x_1^2=(x-x_1)(x+x_1)$ y por lo tanto$x=x_1$ o$-x=x_1$. finalmente, si la ecuación tiene una solución, tiene exactamente dos soluciones.
• Por el segundo, observe que$x^2\equiv 4\mod p$ iff$p$ divide$x^2-4=(x-2)(x+2)$

Answer 3

Significa que p divide$x^{2}-4=(x-2)(x+2)$ ya que p es primo y luego$x-2 \equiv 0$ o$x+2 \equiv 0$ mod p. El resultado sigue.