simplificando esta suma

Question

Para la suma:
¿$$\sum{t=1}^{n} t(t+1)v^t$ $, sería una fórmula "sencilla" para esto? ¿Tales como: $$S=\sum{t=1}^{n} tv^t = \frac{\frac{1-v^n}{1-v} - n v^n}{\frac{1}{v} - 1}$ $? (La segunda suma es el valor presente de una anualidad creciente por \$1 cada periodo, para cualquier persona curiosa).
Entiendo que te reducen a simplificar la suma a $$\sum_{t=1}^{n}t^2v^t + S $ $ pero no estoy seguro si hay una buena fórmula para la primera parte.

Answer 1

Que $Sn=\sum{t=1}^n t(t+1)x^t$. Entonces $$(1-x) Sn = \sum {t = 1} ^ n \left[t(t+1)-(t-1)t\right]x^t-n(n+1)x^{n+1} = 2\sum {t = 1} ^ ntx ^ t-n(n+1) x ^ {n+1}. $$ así que si usted puede trabajar $\sum{t=1}^ntx^t$ puede encontrar $S_n$.

Answer 2

Sugerencia:

Deje que

$$Sn(v)=\sum{t=1}^n v^t=v\frac{1-v^n}{1-v}.$$

Entonces

$$v^2Sn'(v)=\sum{t=1}^n tv^{t+1}$$

y

$$(v^2S_n' (v)) '= 2vs_n' (v) + v ^ 2Sn'' (v) = \sum {t = 1} ^ n (t +1) v ^ t. $$

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Para el cómputo de conveniente, puede distinguir $(1-v)S_n(v)$ dos veces, dando $$(1-v)S_n'(v)-S_n(v)$$ and $% $ $(1-v)S_n''(v)-2S_n'(v).$

Answer 3

Que $S = \sum_{t = 1}^{n} t^2 v^t$

$S = v + 4v^2 + 9v^3 + ... + n^2 v^n$

$Sv = \ \ \ \ \ v^2 + 4v^3 + ... + n^2 v^{n+1}$

$S(1-v) = v + 3v^2 + 5v^3 + ... (n^2 - (n-1)^2)v^n - n^2 v^{n+1}$

$S(1-v)v = \ \ \ \ \ v^2 + 3v^3 + ... ((n-1)^2 - (n-2)^2)v^n + (n^2 - (n-1)^2)v^{n+1} - n^2 v^{n+2}$

$S(1-v)^2 = v + 2v^2 + 2v^3 + ... 2v^n - (n^2 + 2n - 1)v^{n+1} + n^2 v^{n+2}$

$S(1-v)^2 = v + 2v^2(1 + v + v^2 + ... v^{n-2}) - (n^2 + 2n - 1)v^{n+1} + n^2 v^{n+2}$

$S = \frac{v}{(1-v)^2} - \frac{2v^2 (v^{n-1} - 1)}{(1-v)^3} - \frac{(n^2 + 2n -1 )v^{n+1}}{(1-v)^2} + \frac{n^2v^{n+2}}{(1-v)^2}$

EDIT: Esto puede ser más simplificado:

$S = -\frac{n^2v^{n+1}}{(1-v)} - \frac{2nv^{n+1}}{(1-v)^2} + \frac{v(1-v^n)(1+v)}{(1-v)^3}$

Verificar: $n = 0$, da $S = 0$

$n = 1$; $S = -\frac{v^2}{(1-v)} - \frac{2v^2}{(1-v)^2} + \frac{v(1-v)(1+v)}{(1-v)^3} = v$