Enfoque general para determinar la integridad del espacio métrico

Question

He mirado en un par de preguntas en línea pidiendo para determinar la integridad de los Espacios Métricos.

2 ejemplos de espacios métricos $(M,d)$:

1) $M = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \space : y>0 $ o $ x=0=y \} $

$\space \space $ $d((x,y),(a,b)) = min \{ max \{ |x-a|,|y-b| \},y+b \} $

$\space$

2) $M = \{ x \in \mathbb{R} : ||x||<1 \} $

$\space \space $ $d(x,y) = \left\{\begin{matrix} 0 \iff x=y\\ 2-||x||-||y|| \iff x \neq y \end{de la matriz}\right. $

$\space$

Estoy menos interesado en la respuesta y el más interesado en el enfoque general que se podría tomar para determinar la integridad de la métrica de los espacios (no solo los 2 de arriba).

La gente parece saber una adecuada Secuencia de Cauchy para el uso como un contra ejemplo, o la de corregir las pruebas de la parte superior de sus cabezas. Lo que podría su proceso de pensamiento?

Yo soy muy nuevo en los espacios métricos así que estaría muy agradecido si me dieran una explicación más intuitiva, más que algunos formal de las matemáticas.

Gracias!

Answer 1

Ambos de estos ejemplos son bastante contra-intuitivo, pero echemos un vistazo a la segunda: parece que los puntos de $x,y$ "cerca de $1$ en el habitual métrica" (como$0.999$$0.9999$) también están muy cerca uno del otro en su métrica. Así que sería de esperar que si el espacio se completa, la secuencia de $0.9,0.99,0.999,\ldots$ convergería a algo, como el elemento están muy cerca el uno del otro. Pero se puede mostrar fácilmente que esta secuencia no tiene límite (intuitivamente, el límite debe ser $1$---incluso en su extraño métrica---pero $1$ que falta en el espacio). Para finalizar la prueba, por supuesto, usted necesita para formalizar estas nociones que debe ser fácil.

Así que una clave general para demostrar la completitud es tratar de encontrar una secuencia de números que están muy cerca el uno del otro (esto se formaliza en la noción de secuencia de Cauchy), pero no tienen límite. Un ejemplo recomiendo a tener en cuenta es el carácter incompleto de $\Bbb Q$, donde una secuencia de racionales "convergencia de a $\sqrt{2}$" no tiene límite en a $\Bbb Q$. En otras palabras, algo falta ahí. En el segundo de sus ejemplos, $1$ "falta". Así que la pregunta correcta para comenzar con es

Puedo encontrar una secuencia que parece converger a algo, pero la "límite" no está en mi espacio?

Para probar la integridad, tal como en el primer ejemplo, puede ser más difícil: en este caso, probablemente sería dividir los dos casos: o bien una secuencia de Cauchy ha $y$-coordenadas delimitada desde abajo por un número positivo y, a continuación, su métrica es, en un barrio de su secuencia, localmente, el habitual max-métrica en la cerrada de la mitad superior del plano (que os dejo a trabajar en los detalles), la cual se completa, o la $y$-coordenadas de la secuencia de aproximación a cero y, a continuación, el límite es claramente $(0,0)$. Pero la intuición es la misma: si el $y$-coordenadas son muy pequeños, luego los puntos son "cerca de $(0,0)$", un elemento de nuestro espacio.