Límite superior y límite inferior

Question

ps

Sé que esto es cierto basado en la definición de$$\limsup \left(\frac 1{a_n} \right)=\frac 1{\liminf(a_n )} $ y$\limsup$, pero no sé cómo probarlo formalmente.

Answer 1

ps

Answer 2

Supongamos que una subsecuencia$a_{n_k} \to a$. Por supuesto, necesitamos algunas suposiciones, y supondré que$a_n>0$ para cualquier$n$. El$$\frac{1}{a_{n_k}}\to \frac{1}{a},$$ and since $ a = \ liminf_ {n \ to + \ infty} a_n$ is the smallest possible choice, we deduce at once that the largest possible limit point of $ 1 / a_n$ is $ 1 / a$. Hence $$\frac{1}{a} = \limsup_{n \to +\infty} \frac{1}{a_n}.$ ps