$f$ medible con respecto a la finalización del producto $\sigma$ -álgebra en $[0, 1]^2$ seguimiento.

Question

Hice la siguiente pregunta aquí .

Dejemos que $f: [0, 1]^2 \to \mathbb{R}$ sea tal que para cada $x \in [0, 1]$ la función $y \to f(x, y)$ es medible por Lebesgue en $[0, 1]$ y para cada $y \in [0, 1]$ la función $x \to f(x, y)$ es continua en $[0, 1]$ .

Es $f$ medible con respecto a la finalización del producto $\sigma$ -Álgebra $\mathcal{A} \times \mathcal{A}$ en $[0, 1]^2$ ?

Aquí $\mathcal{A}$ es el Lebesgue $\sigma$ -álgebra en $[0, 1]$ .

John Dawkins dio la siguiente respuesta.

Sí. Para $n\in\Bbb N$ definir $$ f_n(x,y)=\cases{f(k/n,y),&$ (k-1)/k \le x<k/n, k=1,2, \ldots ,n $\cr f(1,y),&$ x=1 $.\cr} $$ La función $f_n$ es $\mathcal A\otimes\mathcal A$ -medible (incluso $\mathcal B\otimes\mathcal A$ -medible, donde $\mathcal B$ denota los subconjuntos de Borel de $[0,1]$ ). Porque $f_n$ converge puntualmente a $f$ la función $f$ es $\mathcal B\otimes\mathcal A$ -Medible.

$($ La notación $\mathcal{A} \times \mathcal{A}$ es ambiguo: es literalmente el producto cartesiano de $\mathcal{A}$ con ella misma; es decir $\{(A_1, A_2) : A_i \in \mathcal{A}\}$ . El $\sigma$ -El campo de interés aquí es $\sigma\{A_1 \times A_2 : A_i \in \mathcal{A}\}$ para lo cual prefiero la notación $\mathcal{A} \otimes \mathcal{A}$ . $)$

Tengo algunas preguntas.

1. ¿Cómo puedo ver que $f_n$ $\mathcal{A} \otimes \mathcal{A}$ -¿Medible?
2. ¿Cómo puedo ver que $f_n$ converge puntualmente a $f$ ?
3. ¿Por qué se deduce de $f_n$ convergiendo puntualmente a $f$ que $f$ es $\mathcal{B} \otimes \mathcal{A}$ -¿Medible?

Answer 1

1. Si se considera la preimagen $f_n^{-1}(\{f(k/n,y)\})$ con respecto a la primera coordenada, se ve que se obtiene el intervalo $[(k-1)/n,k/n)$ que es medible con respecto a la medida de Lebesgue.

2. $x \mapsto f(x,y)$ es continua, por lo que los puntos finales de los intervalos donde $f_n$ es constante convergen al mismo límite.