pregunta de probabilidad condicional de sheldon ross

Question

En un año cualquiera, un asegurado de automóvil varón hará un siniestro con probabilidad $p_{m}$ y una mujer asegurada hará una reclamación con probabilidad $p_{f}$ , donde $p_{f} \neq p_{m}$ . La fracción de los asegurados que son hombres es $\alpha, 0 < \alpha < 1$ . Se elige un asegurado al azar. Si $A_{i}$ denota el caso de que este tomador de la póliza haga una reclamación en el año $i$ , demuestran que $P(A_{2}\mid A_{1}) > P(A_{1})$ .

Parece que $A_{2}$ y $A_{1}$ son eventos independientes, por lo que no entiendo por qué la desigualdad debería mantenerse. ¿Puede alguien ayudarme? Muchas gracias.

Answer 1

Esta pregunta es espectacularmente enrevesada, pero en realidad conduce a algunos resultados realmente satisfactorios.

SUGERENCIA:

Supongamos que WLOG que $p_m>p_f$ - los hombres son más propensos a tener accidentes que las mujeres. La intuición que subyace a tu problema es que, si tienes un accidente en el primer año, es más probable que seas hombre, por lo que es más probable que tengas un accidente en el segundo año. Esto debería ser una pista suficiente para empezar, así que dedica algo de tiempo a pensar en estas líneas antes de seguir leyendo. En realidad, no necesitas esta suposición para que la prueba funcione.

SPOILER:

Por lo tanto, usaremos $M$ y $F$ para denotar los eventos de que el asegurado es hombre y mujer respectivamente, y dejemos que $\widetilde{\alpha} = (1-\alpha)$ . Condicionando al género, la probabilidad de que tenga un accidente en el año 1 es

\begin{align*} \mathbb{P}(A_1) &= \mathbb{P}(A_1 | M)\mathbb{P}(M) + \mathbb{P}(A_1|F)\mathbb{P}(F) \\ &= \alpha p_m + \widetilde{\alpha}p_f \end{align*}

Y, utilizando el mismo condicionamiento, la probabilidad de que tenga un accidente en el año 2 dado que tuvo uno en el año 1 es

\begin{align*} \mathbb{P}(A_2|A_1) &= \mathbb{P}(A_2 | A_1 \cap M)\mathbb{P}(M|A_1) + \mathbb{P}(A_2|F\cap A_1)\mathbb{P}(F |A_1) \\ &= \frac{\alpha p_m^2 + \widetilde{\alpha}p_f^2}{\mathbb{P}(A_1)} \end{align*}

Ahora, estamos tratando de probar que $\mathbb{P}(A_2|A_1)>\mathbb{P}(A_1)$ . En su lugar, mostraremos que $\mathbb{P}(A_2|A_1)\mathbb{P}(A_1)> \mathbb{P}(A_1)^2$ lo que es cierto si

$$ \alpha p_m^2 + \widetilde{\alpha}p_f^2 > (\alpha p_m + \widetilde{\alpha}p_f)^2 $$

Una rápida manipulación, recordando que $\widetilde{\alpha} = (1-\alpha)$ y $(1- \widetilde{\alpha}) = \alpha$ muestra que esto es cierto si y sólo si

$$ (p_m - p_f)^2 > 0 $$

Y como $p_m \neq p_f$ Esto es claramente cierto, y el resultado se deduce.

Este tipo de cosas probablemente dará el mismo resultado independientemente de lo que tengamos en cuenta. Si no tenemos en cuenta el género, sino que consideramos alguna función de todas las propiedades que pueda tener un ser humano, probablemente obtendremos el mismo tipo de resultado, proporcionando una base matemática sólida a la idea de que el rendimiento pasado es un buen indicador del rendimiento futuro, sin tener que depender de ningún dato recogido por el experimento.

Answer 2

Intuitivamente, si el titular de una póliza presenta un siniestro en el año $1$ entonces ese hecho sugiere que tienen más probabilidades de haber pertenecido al grupo que tiene más probabilidades de presentar un siniestro que la proporción de ese grupo en la población general.

A su vez, el hecho de pertenecer al grupo con más probabilidades de presentar una solicitud sugiere que tienen más probabilidades que la población general de presentar una solicitud en el año $2$ .

Se podría formalizar esto en expresiones de probabilidad condicional, pero dudo que hacerlo aumente mucho la comprensión.

Answer 3

Puse las respuestas intuitivas de ymbirtt y Henry en expresión matemática como sigue. WLOG, suponemos que $p_m>p_f$ .

\begin{align} P(A_2|A_1)&=\frac{P(A_1\cap A_2)}{P(A_1)} \\ &=\frac{P(\text{male}\cap A_1\cap A_2)}{P(A_1)}+\frac{P(\text{female}\cap A_1\cap A_2)}{P(A_1)} \\ &=\frac1{P(A_1)}\Big(P\big((\text{male}\cap A_1)\cap (\text{male}\cap A_2)\big)+P\big((\text{female}\cap A_1)\cap (\text{female}\cap A_2)\big)\Big) \\ &=\frac{P(\text{male}\cap A_1)P(\text{male}\cap A_2)}{P(A_1)}+\frac{P(\text{female}\cap A_1)P(\text{female}\cap A_2)}{P(A_1)} \\ &=\frac1{{P(A_1)}}\big(P(A_1|\text{male})P(\text{male})P(A_2|\text{male})P(\text{male})+P(A_1|\text{male})P(\text{male})P(A_2|\text{male})P(\text{male})\big) \\ &= \frac{(\alpha p_m)^2+((1-\alpha)p_f)^2}{\alpha p_m+(1-\alpha)p_f} \end{align} como $P(A_1)=\alpha p_m+(1-\alpha)p_f$ . $$a^2+b^2\le (a+b)^2,\quad \forall ab\ge0.$$ Así que $P(A_2|A_1)\le P(A_1)$ que niega la proposición original.