Problema interesante pero difícil:$\min_x \max_{1 \leq r \leq N} |\cos(rx)|$

Question

Quiero resolver este problema de minimización: $$\min_x \max_{1 \leq r \leq N} |\cos(rx)|$$ donde$x \in \mathbb{R}^+$$r \in \{1, 2, \cdots, N\}, N \in \mathbb{N}$.

El uso de algunas simulaciones encontré que la solución es $x^* =\frac{\pi}{N + 1}$. Pero estoy en busca de una solución analítica.

La figura siguiente muestra $|\cos(rx)|$ para diferentes valores de $x$ $r$ al $N = 4$. También, $\max_{1 \leq r \leq N} |\cos(rx)|$ que se representa. Como se muestra, siempre el min se produce cuando $|\cos(x)| = |\cos(Nx)|$. Pero no sé cómo probar esto! Alguien ha encontrado un problema como este?

Answer 1

Como se puede ver, el mínimo ocurre cuando $|\cos rx|=|\cos sx|$, para los números enteros $r$$s$. Que es al $\cos^2 rx=\cos^2 sx$ o $\cos 2rx=\cos 2sx$. Por lo que $$2rx=2n\pi\pm 2sx\\ x=\frac {n\pi}{r\pm s}$$ Si es $r-s$, estos dos puntos difieren en un múltiplo de $\pi$, y el $r-s$ punto es exactamente un múltiplo de $\pi$. En ese caso $\max|\cos rx|=1$.
De modo que el denominador es $r+s$. Necesitamos $r+s>N$, de lo contrario $(r+s)x$ es un múltiplo de a $\pi$, y de nuevo $\max|\cos rs|=1$.
También tenemos $r+s<2N$. Así que si hay algún factor común entre el $n$ $r+s$ en la fracción de $n\pi/(r+s)$, la reducción del denominador es menor que $N$; y uno de los primeros a $N$ puntos es exactamente un múltiplo de $\pi$.
Ahora considere el$r$$-N$$+N$. Es $2N+1$ de los puntos, así que ir a través de todos los múltiplos de $\pi/(r+s)$. Así que el más cercano a un múltiplo de $\pi$ debe ser una distancia $\pi/(r+s)$ distancia. El mayor valor de este puede ser es $\pi/(N+1)$.

Answer 2

Las siguientes manipulaciones preliminares podrían simplificar un poco el problema:

Todas las funciones$x\mapsto \bigl|\cos(r\,x)\bigr|$ son par y$\pi$ - periódico. Por lo tanto, podemos restringirnos al intervalo$0\leq x\leq\pi$. Además$$\max_{1\leq r\leq N}\bigl|\cos(r\,x)\bigr|=\sqrt{\max_{1\leq r\leq N}\cos^2(r\,x)}\ ,$% $ y$$\max_{1\leq r\leq N}\cos^2(r\,x)={1\over2}\left(1+\max_{1\leq r\leq N}\cos(2r\,x)\right)\ .$ $ Putting$2x=:y$, por lo tanto, deberíamos mirar el gráfico de la función$$f(y):=\max_{1\leq r\leq N}\cos(r\,y)\qquad(0\leq y\leq\pi)\ ,$ $ y determinar$\mu:=\min_{0\leq y\leq\pi} f(y)$. A partir de este$\mu$, es fácil obtener el mínimo para el problema original.