Radio de convergencia de una serie de potencias

Question

Mi pregunta es: ¿cómo calculo el radio de convergencia de una serie de potencias cuando la serie no está escrita como $$\sum a_{n}x^{n}?$$ Tengo esta serie: $$\sum\frac{x^{2n+1}}{(-3)^{n}}$$ ¿Puedo usar los criterios como si estuviera trabajando con $x^{n}$, no con $x^{2n+1}$?

Intenté esto: $$k=2n+1\Rightarrow n=\frac{k-1}{2}$$ Y obtuve $$R=\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k}}{a_{k+1}}\right|=\frac{1}{\sqrt{3}}$$ Sé que la respuesta es: la serie converge para todos los $x$ tales que $|x|<\sqrt{3}$. ¿Cómo lo obtengo?

¡Gracias :)

Answer 1

Sea

$$u_n(z)=\frac{x^{2n+1}}{(-3)^n}$$ entonces, por el test de la razón, tenemos

$$\frac{|u_{n+1}(z)|}{|u_n(z)|}=\frac{|x|^2}{3}\xrightarrow{n\to\infty}\frac{|x|^2}{3}<1\iff|x|<\sqrt3$$ por lo tanto, el radio de convergencia es $R=\sqrt3$.

Answer 2

Aún puedes usar la prueba de la razón; supongamos que $x \neq 0$; entonces la razón a calcular es $$\frac{|x|^{2n+3}}{3^{n+1}}\bigg/\frac{|x|^{2n+1}}{3^{n}}= \frac{|x|^{2n+3}}{3^{n+1}}\frac{3^{n}}{|x|^{2n+1}}=\frac{|x|^2}{3}$$ Esto es constante, por lo que la serie es en realidad una serie geométrica, fácil de analizar; pero, también en general, sabes que, siempre y cuando el límite de las razones sea menor que $1$, la serie converge.

Esto no siempre es aplicable, pero si el límite existe, puedes concluir.

Para un ejemplo diferente, considera $$\sum_{n\ge0}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$ donde la razón a calcular es $$\frac{|x|^{2n+3}}{(2n+3)!}\bigg/\frac{|x|^{2n+1}}{(2n+1)!}= \frac{|x|^{2n+3}}{(2n+3)!}\frac{(2n+1)!}{|x|^{2n+1}}= \frac{|x|^2}{(2n+3)(2n+2)}$$ Dado que el límite de esto cuando $n\to\infty$ es cero, sabemos que la serie converge para todos los valores de $x$.

Answer 3

Es mejor usar esto:

$\rho=\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_{n}|}$, entonces la serie converge para todo $x$ tal que $|x| < \frac{1}{\rho}$ y no converge para $|x|>\frac{1}{\rho}$. En este caso:

$\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}=\limsup_{n \to \infty} \sqrt[2n+1]{\frac{1}{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$, por lo tanto, la serie converge para todo $x$ tal que $|x| < \sqrt{3}$ y no converge para $|x|>\sqrt{3}$. Para $|x|=\sqrt{3}$ la serie no converge, porque $a_n=- \sqrt{3}$ o $a_n=\sqrt{3}$ para todo $n$.

Answer 4

Dado que $x \neq 0$, podemos aplicar el test de la razón para la Convergencia Absoluta, que se enuncia de la siguiente manera:

Sea $\sum u_{k}$ una serie con términos distintos de cero y supongamos que $$p= \lim_{k \to \infty} \frac{|u_{k+1}|}{|u_k|}$$ (a) La serie converge absolutamente si $p < 1$.

(b) La serie diverge si $p > 1$ o $p = \infty$

(c) El test es inconcluso si $p = 1$

Aplicado en este escenario, obtenemos: $$\frac{|x^{2(n+1)+1}|}{|-3^{n+1}|}* \frac{|-3^n|}{|x^{2n+1}|} =\frac{|x^2|}{|-3|}=\frac{x^2}{3}$$

Ahora $$\lim_{n \to \infty} \frac{x^2}{-3} < 1 \iff |x| < \sqrt{3}$$

Nuestro radio de convergencia es $\sqrt{3}$ y el intervalo de convergencia es $-\sqrt{3} < x < \sqrt{3}$