¿Para cualquier subespacio, conjunto de matrices cuyo núcleo contiene ese subespacio queda ideal?

Question

Sea $A$ el anillo de $n \times n$ matrices sobre un campo $\mathbb{F}$.

¿Cómo ver que para cualquier subespacio $V$ $\mathbb{F}^n$, el conjunto de $I_V$ de matrices cuyo núcleo contiene $V$ es un ideal izquierdo de $A$?

Answer 1

Es fácil demostrar lo que quieres si escribes lo que significa: de hecho, si $X\in A$, entonces el $V\subset \ker X$ si y sólo si $Xv=0$ % todos $v\in V$.

Ahora para cualquier $X,Y\in I_V$ y $Z\in A$, así tienes $Xv=0=Yv$ % todo $v\in V$, que $$(X+Y)v=Xv+Yv=0$ $ y $$(ZX)v=Z(Xv)=0$de % $ % todos $v\in V$.

Answer 2

Utilizar la definición de un ideal: es un subgrupo aditivo (sencillo Mostrar) y para cualquier $A\in{M_n(\mathbb{F})}$ y $B\in{I_V}$ tienes que ver que $AB\in{I_V}$ (también muy sencillo).