Subconjunto de relaciones entre espacios de Sobolev y sus duales

Question

Esta puede ser una pregunta bastante densa, pero sin embargo estaría agradecido por alguna orientación.

La pregunta tiene que ver con los espacios de Sobolev $H^m(\Omega)$ en un dominio acotado abierto $\Omega$ de $\mathbb{R}^n$, donde $m \geq 0$ es un entero. Estos son espacios de Hilbert; así que el teorema de la representación de Riesz nos dice que hay una correspondencia biunívoca entre los elementos de $H^m(\Omega)$ y los elementos de su dual $H^{-m}(\Omega)$. Sin embargo, también tenemos la propiedad de inclusión $H^{m}(\Omega) \subset L_2(\Omega) \subset H^{-m}(\Omega)$ (por ejemplo, Oden y Reddy, Intro. a la Teoría Matemática de los Elementos Finitos, p. 108). ¿Cómo puede sostenerse ambas cosas? En otras palabras, ¿cómo puede haber una correspondencia biunívoca entre $H^m(\Omega)$ y $H^{-m}(\Omega)$, y sin embargo el primero es un subconjunto estricto del segundo?

Answer 1

El espacio dual es el espacio de funcionales lineales continuos, y para que una afirmación como $H^m \subset (H^m)^*$ tenga sentido, se debe definir una forma de interpretar funciones como funcionales, es decir, un encaje lineal $H^m \to (H^m)^*$. Hay dos candidatos aparentemente naturales: $$i_R(u)(v):=\left < u,v \right >_{H^m}$$ y $$i_D(u)(v):=\left < u,v \right >_{L^2}$$ La relación estricta de la inclusión se traduce en la pregunta de si el encaje es un isomorfismo, ¡y resulta que $i_R$ es un isomorfismo según el teorema de representación, pero $i_D$ no lo es! Sin embargo, de acuerdo con la teoría de distribuciones, $i_D$ se utiliza universalmente para identificar funciones con funcionales.