Encuentra un subgrupo de $S_{4}$ que es isomorfo a $\mathrm{Aut}(U_{8})$

Question

La notación que estoy utilizando es:

$S_{4}$ el grupo de permutación de orden 4

$\mathrm{Aut}(U_{8})$ el conjunto de todos los automorfismos sobre el conjunto $U_{8}$

$U_{8}$ : el grupo de números relativamente primos a 8

Sé que $U_{8} = {{1,3,5,7}}$ .

Perdonen mi falta de una tabla adecuada, pero la "tabla de multiplicación" para $U_{8}$ está dada por:

$\begin{bmatrix} 1*1 & 1*3 & 1*5 & 1*7 \\[0.3em] 3*1 & 3*3 & 3*5 & 3*7 \\[0.3em] 5*1 & 5*3 & 5*5 & 5*7 \\[0.3em] 7*1 & 7*3 & 7*5 & 7*7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 & 7 \\[0.3em] 3 & 1 & 7 & 5 \\[0.3em] 5 & 7 & 1 & 3 \\[0.3em] 7 & 5 & 3 & 1 \end{bmatrix}$

Así que creo que debería empezar preguntando cuántos elementos tiene $\mathrm{Aut}(U_{8})\ $ tener. Un elemento en $\mathrm{Aut}(U_{8})\ $ es un isomorfismo de $U_{8}$ a sí mismo. Mi investigación condujo a algunas discusiones para encontrar el número de generadores del grupo - sin embargo $U_{8}$ no es cíclico, así que esto se me cae.

¿Puede alguien indicarme la dirección correcta? Incluso la simple explicación de las diferentes posibilidades me ayudaría enormemente. Aparte del automorfismo trivial $\Phi(x)=x\ $ No se me ocurre nada.

También debo señalar que $U_{8}$ es isomorfo al grupo de cuatro de Klein. No estoy seguro de cómo me ayuda esto.

Answer 1

Veamos los automorfismos de $V$ , el Klein vierergruppe en la forma:

$V = \{e,a,b,c\}$ donde $a^2 = b^2 = c^2 = e$ y $ab = ba = c$ .

Nótese que cualquier automorfismo de este tipo debe permutar el conjunto $\{a,b,c\}$ ya que un elemento de orden $2$ tiene que ir a un elemento de orden $2$ bajo dicho automorfismo.

Esto significa que $\text{Aut}(V)$ es isomorfo a un subgrupo de $S_3$ que puede ser incrustado (de varias maneras) en $S_4$ .

Otra forma de realizar $\text{Aut}(V)$ como un subgrupo de $S_4$ es considerar cualquier automorfismo como una permutación (ya que los automorfismos son biyectos) de los elementos de $V$ que tiene $4$ elementos.