¿Cuántas bolsas distintas se pueden formar que contengan al menos un panecillo de cada tipo?

Question

Una panadería tiene $8$ tipos de bagels. En una bolsa caben una docena de bagels. ¿Cuántas bolsas distintas se pueden formar que contengan al menos un panecillo de cada tipo?

Mi respuesta: Empezamos eligiendo un bagel de cada tipo. Entonces ya hemos seleccionado 8 bagels, y necesitamos añadir 4 más para completar la docena. Esto corresponde al número de soluciones enteras no negativas de la ecuación $$\sum_{i=1}^{8}x_{i} = 4$$ que es $C_{7}^{11}=330$ . ¿Le importaría a alguien comprobar si esto es correcto?

Answer 1

Verificando tu respuesta...

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En $4$ Los bagels "duplicados" pueden elegirse de la siguiente manera:

• $1,1,1,1\implies4$ tipos únicos, que pueden elegirse en $\binom84=70$ vías
• $1,1,2 \implies3$ tipos únicos, que pueden elegirse en $\binom83=56$ vías
• $1,2,1 \implies3$ tipos únicos, que pueden elegirse en $\binom83=56$ vías
• $2,1,1 \implies3$ tipos únicos, que pueden elegirse en $\binom83=56$ vías
• $2,2 \implies2$ tipos únicos, que pueden elegirse en $\binom82=28$ vías
• $1,3 \implies2$ tipos únicos, que pueden elegirse en $\binom82=28$ vías
• $3,1 \implies2$ tipos únicos, que pueden elegirse en $\binom82=28$ vías
• $4 \implies1$ tipo único, que puede elegirse en $\binom81= 8$ vías

Con un total de $70+56+56+56+28+28+28+8=330$ bolsas distintas.