Desde el conjunto de $\{1,2,\ldots,n\}$ dos números son elegidos uniformemente, con el reemplazo. Encontrar la probabilidad de que el producto de los números es uniforme.

Question

Se da la respuesta, sólo el razonamiento está claro. Resultado: $${2\over n}\left[{n\over 2}\right]-\left({\left\lfloor{n \over 2}\right\rfloor\over n}\right)^2,\text{ where $\lfloor\cdot\rfloor$ is the whole part of a number}.$$

La segunda parte de la pregunta es: la probabilidad de que la suma de los cuadrados de los números es: otra vez la respuesta: $$1-{2\over n}\left\lfloor{n\over 2}\right\rfloor+{2\over n^2}\left\lfloor{n \over 2}\right\rfloor^2, \text{where $\lfloor\cdot\rfloor$ is the whole part of the number}.$$

Answer 1

Primer Problema

Hay $\left\lfloor\frac{n+1}2\right\rfloor$ números impares en $1\dots n$, por lo que la probabilidad de que cada número elegido es impar es $$ \frac1n\left\lfloor\frac{n+1}2\right\rfloor $$ Por lo tanto, la probabilidad de que el producto es $$ \bbox[5px,border:2px solid #F0A000]{1-\frac1{n^2}\left\lfloor\frac{n+1}2\right\rfloor^2} $$

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Hay $n-\left\lfloor\frac{n}2\right\rfloor$ números impares en $1\dots n$, por lo que la probabilidad de que cada número elegido es impar es $$ \frac1n\left(n-\left\lfloor\frac{n}2\right\rfloor\right) $$ Por lo tanto, la probabilidad de que el producto es $$ 1-\left(1-\frac1n\left\lfloor\frac{n}2\right\rfloor\right)^2=\bbox[5px,border:2px solid #F0A000]{\frac2n\left\lfloor\frac{n}2\right\rfloor-\frac1{n^2}\left\lfloor\frac{n}2\right\rfloor^2} $$

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Segundo Problema

Hay $\left\lfloor\frac{n+1}2\right\rfloor$ números impares y $n-\left\lfloor\frac{n+1}2\right\rfloor$ números en $1\dots n$. Por lo tanto, el número de par-impar dibuja o impar, incluso saca es $\left\lfloor\frac{n+1}2\right\rfloor\left(n-\left\lfloor\frac{n+1}2\right\rfloor\right)$. Por lo tanto, la probabilidad de una suma es $$ 1-\frac2{n^2}\left\lfloor\frac{n+1}2\right\rfloor\left(n-\left\lfloor\frac{n+1}2\right\rfloor\right) =\bbox[5px,border:2px solid #F0A000]{1-\frac2n\left\lfloor\frac{n+1}2\right\rfloor+\frac2{n^2}\left\lfloor\frac{n+1}2\right\rfloor^2} $$

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Hay $n-\left\lfloor\frac{n}2\right\rfloor$ números impares y $\left\lfloor\frac{n}2\right\rfloor$ números en $1\dots n$. Por lo tanto, el número de par-impar dibuja o impar, incluso saca es $\left\lfloor\frac{n}2\right\rfloor\left(n-\left\lfloor\frac{n}2\right\rfloor\right)$. Por lo tanto, la probabilidad de una suma es $$ 1-\frac2{n^2}\left\lfloor\frac{n}2\right\rfloor\left(n-\left\lfloor\frac{n}2\right\rfloor\right) =\bbox[5px,border:2px solid #F0A000]{1-\frac2n\left\lfloor\frac{n}2\right\rfloor+\frac2{n^2}\left\lfloor\frac{n}2\right\rfloor^2} $$

Answer 2

Probabilidad de que usted está buscando es igual a la probabilidad de $1 -$ de producto siendo impar.

Producto es impar si ambos números son impares.

Probabilidad de un número es impar es $1 - \dfrac{[\frac{n}{2}]}{n}$.

Probabilidad de que ambos son impares es $\left(1 - \dfrac{[\frac{n}{2}]}{n}\right)^2$.

A escuadra y obtener la probabilidad de que algún producto que: $1 - 2\dfrac{[\frac{n}{2}]}{n} + \left(\dfrac{[\frac{n}{2}]}{n}\right)^2$

Producto aún es, para recordarle: $1 -$ prob. de odd

Por lo tanto $1 - \left(1 - \dfrac{2[n/2]}{n} + \left(\dfrac{[n/2]}{n}\right)^2\right)$

Resultado: $2\dfrac{[\frac{n}{2}]}{n} - \left(\dfrac{[\frac{n}{2}]}{n}\right)^2$