¿Cuál es la suma de los dígitos de la suma de los dígitos?

Question

Problema

Deje $(10^{2016}+5)^2=225N$. Si $S$ es la suma de los dígitos de N, entonces, encontrar la suma de los dígitos de S

Intento

Echemos un vistazo a algunos de los más pequeños de los casos. Tenemos $\dfrac{(10^{3}+5)^2}{225} = 4489$,$\dfrac{(10^{4}+5)^2}{225} = 444889$, y $\dfrac{(10^{5}+5)^2}{225} = 44448889$. Así vemos que el patrón y la $S = 4*2015+8*2014+9 = 24181$ y la suma de los dígitos de $S$$\boxed{16}$.

Pregunta

Demostrar el resultado en la solución anterior por inducción o algún otro método. Es decir, muestran que para $n > 1$

$$\dfrac{(10^{n}+5)^2}{225} =\underbrace{44\ldots4}_\text{n-1 4's}\underbrace{88\ldots8}_\text{n-2 8's}9.$$

Answer 1

$ {1\over225} (10 ^ {n +1} +5) ^ 2 = {1\over9} (2\cdot10 ^ {n} +1) ^ 2 = {1\over9} (4\cdot10 ^ {2n} +4\cdot10 ^ {n} +1) = \ {1\over9}(4(10^{2n}-1)+4(\cdot10^{n}-1)+9) = 4 {10 ^ {2n}-1\over9} +4 {10 ^ {n}-1\over9} +1 = \ 4 {10 ^ {2n} - 1\over10 - 1} +4 {10 ^ {n} - 1\over10 - 1} +1 = 4\sum {k = 0} ^ {2n-1} 10 ^ k +4\sum {k = 0} ^ {n-1} 10 ^ k +1 = \ \sum{k=n}^{2n-1}4\cdot10^k+\sum{k=1}^{n-1}8\cdot10^k+9=\underbrace{44\ldots4}\text{n}\underbrace{88\ldots8}\text{n-1}9. $$

Answer 2

sugerencia

• $U_{n+1}=\frac{(10^{n+1}+5)^2}{225}=\frac{(10^{n}+5+10^n*9)^2}{225}$

= $\frac{(10^{n}+5)^2}{225}+\frac{2(10^{n}+5)(10^n9)}{225}+\frac{(10^{n+1}+5)^2}{225}=U_{n}+10^{n-1}(4410^{n-1}+4)$ después de la simplificación