Es la relación de los meandros de un río $= \pi$ ?

Question

Para llegar desde el punto $A$ a $B$ un río tomará un camino que es $\pi$ veces más largo que a vuelo de pájaro (creo que este resultado es de Einstein). ¿Cuál es la prueba de esto, y qué tan bien se sostiene contra el experimento?

¿Qué suposiciones se hacen durante la prueba?

Editar: Yo también me mostré escéptico cuando escuché esto por primera vez, y me hice esta pregunta en parte para mitificar potencialmente. Para que quede claro, supuse que la afirmación era:

Para un río que se forma de la "manera habitual" en una llanura plana bajo "condiciones habituales" (sean las que sean, supongamos las condiciones de Princeton, ya que posiblemente se trataba de Einstein), ya que la longitud del arco del río desde un punto de partida tiende al infinito, $\frac{\text{arc length}}{\text{crow's length}}\rightarrow \pi$ .

Soy consciente de que esto equivale a la hipótesis de que los meandros del río pueden ser bien aproximados como semicirculares a medida que la longitud aumenta por encima de un determinado valor.

Answer 1

La premisa de la pregunta no es correcta, pero hay una forma general de los ríos.

De Leopold y Langbein, escribiendo en Scientific American :

Una muestra de 50 meandros típicos en muchos ríos y arroyos diferentes ha arrojado un valor medio para esta relación de aproximadamente 4,7 a uno.

La proporción que utilizan en ese artículo es diferente a la definición que tú (y la Wikipedia, y los comentarios) están utilizando. Estoy seguro de que es simple álgebra para convertir una proporción a la otra. Pero ese artículo también señala que:

Para la gran mayoría de los ríos serpenteantes el valor de esta relación oscila entre 1,3 a uno y cuatro a uno.

Cualquiera que sea el resultado de la conversión, parece que hay una gran variedad de proporciones de meandros en la vida real.

Ese artículo de Scientific American es un resumen de un artículo más largo y técnico artículo por los mismos autores. El método que utilizan consiste en fijar los puntos inicial y final A y B, y dejar que el río camine aleatoriamente de A a B. La forma más probable para ese camino es lo que ellos llaman una curva "generada por un seno". En un punto determinado, el ángulo entre la tangente al río y la dirección media del río el seno de la distancia a lo largo del canal. La curva resultante no es exactamente una curva semicircular, por lo que la relación de los meandros no se predice $\pi$ .

Un estudio más reciente de Garret Williams confirma los resultados de Leopold y Langbein, e informa de que el valor más común para la relación entre el radio de curvatura y la anchura del canal está entre 2 y 3.

El otro efecto importante que impulsa la forma del río es la facilidad con la que el río puede erosionar el suelo que atraviesa. El río tenderá a fluir más directamente cuesta abajo si el suelo circundante es difícil de erosionar. En las zonas donde el suelo se erosiona con bastante facilidad, el río adoptará esta curvatura generada por el seno. Un ejemplo de ello es el río Mississippi, en Estados Unidos. Tiene la clásica forma generada por un seno a lo largo de todo el recorrido desde El Cairo, IL, hacia el sur hasta Nueva Orleans, LA. Pero es mucho más recto a lo largo de la frontera entre Illinois e Iowa.

Answer 2

Un artículo de Nature de 1996 (Ref. 1) afirma que la sinuosidad media es $\pi$ basado en un modelo numérico. He leído muchos artículos sobre el tema y éste es el único que hace tal afirmación; no ha sido corroborada por nadie más, que yo sepa.

Referencias:

1. Hans-Henrik Stølum, Los meandros del río como proceso de autoorganización, Science Vol. 271, 22 de marzo de 1996, p. 1710. El archivo pdf está disponible aquí .