Resolver una $x^2 +x-1$ en un campo con $49$ elementos

Question

Me dieron un problema que parece que no sé cómo resolver. Dice

Deje que $ \mathbb {F}$ ser un campo con $7$ elementos. Construir un campo $ \mathbb {L}$ con $7^2$ elementos y mostrar que $x^2-3$ y $x^2+x-1$ puede ser resuelto en $ \mathbb {L}$ . Ahora construye un campo $ \mathbb {K}$ con $7^3$ elementos y mostrar que $x^2-3$ no puede ser resuelto en $ \mathbb {K}$ .

Hasta ahora, creo que $ \mathbb {F}$ debe ser $ \mathbb {F}_7= \mathbb {Z}/7 \mathbb {Z}$ y, dado que $49$ no es primordial, $ \mathbb {L}$ debe ser $ \mathbb {L}= \mathbb {F}_7[x]/(f(x))$ pero tengo problemas para encontrar $f(x)$ . Estaba pensando que $f(x)=x^2-5$ funcionaría ya que $ \sqrt {5} \notin\mathbb {F}_7$ y $ \sqrt {5}$ es necesario para resolver ambas ecuaciones. Sin embargo, si uso $x^2-5$ que no puedo resolver para $ \sqrt {5}$ . Además, no tengo ni idea de qué hacer para $ \mathbb {K}$ .

Gracias

Answer 1

Puedes tomar $f(x)=x^2-5$ para su campo $L$ . Elementos de $L$ pueden ser considerados como polinomios $$\{a+bx \mid a,b \in F_7\}\ ,$$ con el módulo de suma y multiplicación $x^2-5$ . Para resolver $t^2-3$ (tal vez el $x$ te está confundiendo, así que he cambiado la variable) que necesitas $$(a+bx)^2-3=0\ ,$$ eso es, $$a^2+2abx+b^2x^2-3=0\ .$$ desde $x^2$ es "lo mismo que" $5$ esto es $$(a^2+5b^2-3)+2abx=0\ .$$ Está bastante claro que $b \ne0 $ (si no está claro, inténtalo) y así $$a=0\ , \quad 5b^2=3$$ que da $b= \pm3 $ . Así que las raíces de $t^2-3$ son $t= \pm3x $ .

Puedes hacer $t^2+t-1$ de la misma manera. Para $K$ necesitas $f(x)$ para ser un cúbico.

¡Buena suerte!

Answer 2

los grupos multiplicadores de los campos con $7^2$ y $7^3$ los elementos tienen, respectivamente, órdenes 48 y 342. Por lo tanto, cualquier elemento distinto de cero presente en ambos campos debe satisfacer $x^6=1$ . los elementos de $F_7$ ya proporcionan todas las soluciones.

así que si $x^2-3$ tiene soluciones en cada campo, deben ser distintas. pero esto no es posible - de lo contrario el $2^{ \text {nd}}$ -la ecuación de grado tendría cuatro soluciones en la compositum de los dos campos