Fuerza coulombiana entre dos cargas puntuales en un medio dieléctrico

Question

En un medio dieléctrico con constante dieléctrica relativa $\epsilon_r$, ¿cuál es el Coulomb la fuerza entre dos cargas puntuales $q_1$ $q_2$ a pie $r$? Es igual a la de la fuerza de Coulomb en el vacío dividido por $\epsilon_r$ o $\epsilon_r^2$, es decir, si la fórmula es

$$F=\frac{q_1q_2}{4\pi\epsilon_0\epsilon_rr^2}\quad\mbox{or}\quad\frac{q_1q_2}{4\pi\epsilon_0\epsilon_r^2r^2}?$$

Sé que en un medio dieléctrico, tenemos $\nabla^2\phi=-\rho_0/(\epsilon_0\epsilon_r)$. Suponiendo que el medio es infinitamente grande sin límite a considerar, la de Coulomb campo generado por $q_1$ o $q_2$ se reduce por un factor de $\epsilon_r$. Pero también sé que este efecto es debido a la envolvente de los cargos de $-q_1(1-1/\epsilon_r)$ $-q_2(1-1/\epsilon_r)$ que rodean a las cargas libres $q_1$$q_2$, dejando a los cargos netos $q_1/\epsilon_r$$q_2/\epsilon_r$. Así que vamos a decir si el $q_1$ $q_2$ son como los cargos y los conecto con un aislante de la cuerda. La fuerza de la fórmula es correcta, si quiero calcular la tensión en la cuerda en equilibrio, suponiendo que el medio es un sin fricción de fluido?

Answer 1

El Coulomb la fuerza en un medio de constante dieléctrica relativa $\epsilon_r$ está dado por su primera ecuación. Sólo de esta manera se sigue la intensidad de campo eléctrico de una esfera simétrica libre de cargo $Q$ en el dieléctrico con $$E=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0\epsilon_r r^2} \tag{1}$$ which, with the electric displacement $D=\epsilon_r \epsilon_0 E$, results in the correct Gauss Law $$ \int_{sphere} \epsilon_r \epsilon_0 E da=Q \tag{2}$$ This is equivalent to the differential form of Gauss's Law, the Maxwell equation in a dielectric $$ div (\epsilon_r \epsilon_0 \vec E)=\rho$$ where $\rho$ es el libre de la densidad de carga.

Nota añadida después de un comentario por Zhouran Él: En la Ley de Coulomb para la fuerza eléctrica $F$ ejercida por una carga libre $q_1$ en un segundo (prueba de carga) $q_2$ en un dieléctrico con permitividad relativa $\epsilon_r$, sólo la carga $q_1$ como la fuente de la fuerza de campo puede ser considerado para ser reducido por la polarización de los cargos del dieléctrico a la $q_1/\epsilon_r$ así que el vacío de la ley de Coulomb puede ser utilizado con esta carga neta. Aunque la carga de la $q_2$ también está rodeado por la polarización de los cargos, el de la fuerza de $F$ ejercida por la carga neta $q_1/\epsilon_r$ trabaja en la carga libre $q_2$. Uno también puede considerar la posibilidad de $q_2/\epsilon_r$ a la carga neta que ejerce la fuerza de $F$ sobre el libre (prueba de carga)$q_1$. La carga libre $q_2$ considera que una carga neta $q_1/\epsilon_r$ ejerciendo una fuerza $F$ en de acuerdo a Coulombs vacío de la ley. La polarización de las cargas inducidas por sí mismo a su alrededor no ejercer una fuerza en sí misma. El mismo razonamiento se aplica con intercambiar las funciones de los cargos. Así, la segunda forma de Coulombs Ley para un dieléctrico es correcta.

Answer 2

La fuerza del análisis del problema se realiza gracias a @freecharly. Ahora trabajo usando otros dos métodos: trabajo virtual y energía del campo. Supongamos cargo $q_1$ es fijo y carga en $q_2$ se mueve a lo largo de la cuerda por un pequeño desplazamiento virtual $\delta r$$q_1$. El Coulomb campo debido a la carga neta $q_1/\epsilon_r$ repele $q_2$ y atrae la envolvente de carga $-q_2(1-1/\epsilon_r)$ circundante $q_2$. Al $q_2$ se mueve por la distancia a la $\delta r$, el límite de carga no se mueva con $q_2$. Por definición, la envolvente de carga no se puede mover. Lo que en realidad sucede es que la envolvente de carga en la posición original de $q_2$ despolariza a la neutralidad, mientras que algunos de los nuevos envolvente de carga de la misma cantidad vuelve a aparecer en la nueva posición de $q_2$. Por lo que no se realiza un trabajo de la envolvente de carga $-q_2(1-1/\epsilon_r)$ porque no la envolvente de carga se movió en realidad la distancia $\delta r$. Por lo tanto,

$$F\delta r=\frac{q_1q_2}{4\pi\epsilon_0\epsilon_rr^2}\delta r,$$

que significa que la primera fórmula es correcta. Observe que el visionario "desplazamiento" de la envolvente de los cargos de $-q_2(1-1/\epsilon_r)$ no es un verdadero desplazamiento. Por lo tanto no se trabaja.

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La energía del campo método no distingue libre de cargos y obligado cargos o realizar un seguimiento de cómo se mueven las cargas. Utiliza la energía de los condensadores $\,W=\frac{1}{2}CU^2\,$ $\,C=\epsilon_0\epsilon_rS/d\,$ $\,E=U/d\,$ obtener

$$W=\frac{1}{2}\epsilon_0\epsilon_rE^2Sd.$$

Por lo tanto, la densidad de energía de un $E$-campo en un medio dieléctrico es mayor que el mismo $E$-campo en el vacío por un factor de $\epsilon_r$ debido a la polarización de los medios. Cuando la distancia entre las cargas netas $q_1/\epsilon_r$ $q_2/\epsilon_r$ aumenta por $\delta r$, si estos eran los cargos en el vacío, el $E$-campo de energía se reduce a una cantidad igual al trabajo realizado por la fuerza en la segunda fórmula veces $\delta r$. Pero ahora el $E$-campo de los cargos netos $q_1/\epsilon_r$ $q_2/\epsilon_r$ están en el medio. Por lo tanto, el trabajo realizado es $\epsilon_r$ veces mayor. En la fórmula tenemos

$$F\delta r=\frac{(q_1/\epsilon_r)(q_2/\epsilon_r)}{4\pi\epsilon_0r^2}\delta r\times\epsilon_r=\frac{q_1q_2}{4\pi\epsilon_0\epsilon_rr^2}\delta r.$$

$E$-campos en medios dieléctricos contienen más energía de la que el mismo $E$-campos en el vacío por $\epsilon_r$ veces.