Pregunta interesante. Voy a dar dos casos en los que la relación se mantiene (y en el segundo no es obvio que lo hace), pero me abstendré de decir que para cualquier concebible función de producción. Yo se que tal vez regrese para una más generales de tratamiento.
EL CASO DE UN
Considere la posibilidad de la generalización de la Cobb-Douglas de la función en $n$ entradas
$$Q = A\prod_{i=1}^nx_i^{a_i},\;\;\ a_i>0$$
Los "rendimientos a escala" para esta función de producción (formalmente, su grado de homogeneidad), es
$$r=\sum_{i=1}^na_i$$
Si sólo uno de los $a_i$s'es mayor que la unidad, decir $a_k$, la de entrada de $k$ tendrán una creciente producto marginal (es decir, 2ª derivada parcial positivo), y también, esto conducirá a $r>1$:
$$\frac {\partial^2 Q}{\partial x_k^2} = \frac {a_k(a_k-1)}{x_k^2}Q >0 \qquad r=a_k+ \sum_{i\neq k}^na_i >1 $$
Así que en este caso, la implicación que tiene: la existencia de una entrada con el aumento de la productividad marginal, implica que la función de producción exhibe rendimientos crecientes a escala.
CASO B
Considere ahora un generalizada C. E. S la función, digamos, de dos entradas,
$$Q= A\left[\alpha x_1^{-\rho}+(1-\alpha)x_2^{-\rho}\right]^{-k/\rho},\;\; 0<\alpha<1,\;\; \rho >-1$$
Dónde está la "generalización"? En la existencia del coeficiente de $k$, lo que determina el grado de homogeneidad, y por lo tanto los rendimientos de escala para esta función ($k>1 \Rightarrow$ rendimientos crecientes a escala). La primera derivada es aquí
$$\frac {\partial Q}{\partial x_1} = \frac {k\alpha Q^{(k+\rho)/k}}{A^{\rho/k}x_1^{\rho+1}}$$
y la 2ª derivada es
$$\frac {\partial^2 Q}{\partial x_1^2} = \frac {k\alpha}{A^{\rho/k}}\left[((k+\rho)/k)Q^{(k+\rho)/k}Q^{-1}\frac {\partial Q}{\partial x_1}x_1^{\rho+1} - (\rho+1)x_1^{\rho}Q^{(k+\rho)/k}\right]\cdot x_1^{-2(\rho+1)} $$
$$=\frac {\partial^2 Q}{\partial x_1^2} = \frac {k\alpha}{A^{\rho/k}}Q^{(k+\rho)/k}x_1^{\rho}\left[((k+\rho)/k)Q^{-1}\frac {\partial Q}{\partial x_1}x_1 - (\rho+1)\right]\cdot x_1^{-2(\rho+1)}$$
Establecimiento $\varepsilon_{q,1} = Q^{-1}\frac {\partial Q}{\partial x_1}x_1$ (el punto de la elasticidad de la producción con respecto a $x_1$, que para el CES función de producción es no constante) y haciendo caso omiso de los términos que no afectan a la señal de la 2ª derivada, tenemos que
$$\operatorname{sign}\left\{\frac {\partial^2 Q}{\partial x_1^2}\right\}= \operatorname{sign}\left\{(1+\rho/k)\varepsilon_{q,1} - (\rho+1)\right\}$$
Así que para aumentar el producto marginal, necesitamos
$$\varepsilon_{q,1} > \frac {1+\rho}{1+\rho/k}$$
Parecería que esta desigualdad se puede contener (=> aumento de la productividad marginal) incluso si $k\leq 1$ (en cuyo caso, los rendimientos a escala constante o decreciente). Pero esto no es así. Tenemos
$$\varepsilon_{q,1} = Q^{-1}\frac {\partial Q}{\partial x_1}x_1 = Q^{-1}\frac {k\alpha Q^{(k+\rho)/k}}{A^{\rho/k}x_1^{\rho+1}}x_1 = \frac {k\alpha}{x_1^{\rho}}\left[\frac QA\right]^{\rho/k}= \frac {k\alpha}{x_1^{\rho}}\frac {1}{\left[\alpha x_1^{-\rho}+(1-\alpha)x_2^{-\rho}\right]}$$
$$\Rightarrow \varepsilon_{q,1} = \frac {k\alpha}{\alpha +(1-\alpha)x_1^{\rho}x_2^{-\rho}}$$
Por lo tanto la condición para aumentar el producto marginal se convierte en
$$\frac {k\alpha}{\alpha +(1-\alpha)x_1^{\rho}x_2^{-\rho}} > \frac {1+\rho}{1+\rho/k} \Rightarrow \alpha k+\alpha\rho > (1+\rho)\alpha + (1+\rho)(1-\alpha)x_1^{\rho}x_2^{-\rho}$$
$$\Rightarrow 0 > (1-k)\alpha + (1+\rho)(1-\alpha)x_1^{\rho}x_2^{-\rho} $$
Esta desigualdad para mantener (y por lo tanto obtener el aumento de producto marginal) es necesario que el $k>1$, (porque $\alpha <1$$\rho >-1$), lo que implica rendimientos crecientes a escala. Así que si el producto marginal es creciente, entonces es cierto que hemos rendimientos crecientes a escala, también aquí.
