Cómo encontrar la integral definida $\int_0^\infty \frac{x}{\sinh ax}\;dx$

Question

Estoy tratando de demostrar que

$$I:= \int_0^\infty \frac{x}{\sinh(ax)} dx = \frac{\pi^2}{4a^2}$$

Intento:

$$\sinh (ax) = \frac{1}{2}(e^{ax}-e^{-ax}) = \frac{1}{2}e^{-ax}(e^{2ax}-1)$$

Ahora tengo $$\int_0^\infty \frac{x}{\sinh(ax)} dx = \int_0^\infty 2x \sum_{q=0}^\infty \frac{\frac{a^qx^q}{q!}}{e^{2ax}-1} dx$$ .

Sustituyendo $y=2ax$ Lo entiendo: $$I= \frac{1}{2a^2} \sum_{q=0}^\infty \frac{1}{2^qq!} \int_0^\infty \frac{y^{q+1}}{e^y-1}dy=\frac{1}{2a^2} \sum_{q=0}^\infty \frac{1}{2^qq!} \Gamma(q+2) \zeta(q+2)$$

¿Estoy en el camino correcto? ¿Qué pasa con la serie infinita; por qué debe tener el valor $\frac{\pi^2}{2}$ ?

Cualquier sugerencia será muy apreciada.

Answer 1

Una pista. Una aproximación es expandir el integrando e integrar a término.

Podemos escribir $$ \begin{align} \int_0^{+\infty} \frac{x}{\sinh (ax)} \:dx&=2\int_0^{+\infty} \frac{x}{e^{ax} - e^{-ax}} \:dx\\\\ &=2\int_0^{+\infty} \frac{x}{1 - e^{-2ax}} e^{-ax}\:dx\\\\ &=2\int_0^{+\infty} x \sum_{n=0}^{\infty}e^{-a(2n+1)x}dx\\\\ &=2\sum_{n=0}^{\infty}\int_0^{+\infty} x \:e^{-a(2n+1)x}dx\\\\ &=\frac{2}{a^2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^2}\\\\ &=\frac{2}{a^2}\times\frac{\pi^2}{8}\\\\ &=\frac{\pi^2}{4a^2}. \end{align} $$

Answer 2

Lo tenemos: $$ \int_{0}^{+\infty}\frac{x}{\sinh(a x)}\,dx = \frac{1}{a^2}\int_{0}^{+\infty}\frac{x}{\sinh x}\,dx =\frac{1}{a^2}\int_{1}^{+\infty}\frac{2\log t}{t^2+1}\,dt$$ por lo tanto: $$ \int_{0}^{+\infty}\frac{x}{\sinh(a x)}\,dx = -\frac{2}{a^2}\int_{0}^{1}\frac{\log u}{1+u^2}\,du = \frac{2}{a^2}\cdot\frac{\pi^2}{8}=\color{red}{\frac{\pi^2}{4a^2}}.$$